Когда говорят о процентных ставках, они обычно имеют в виду реальные процентные ставки в отличие от номинальных. Однако реальные ставки не могут быть непосредственно наблюдаемы. Заключая кредитный договор или просматривая финансовые бюллетени, мы получаем информацию прежде всего о номинальных процентных ставках.
Номинальная процентная ставка - это процент в денежном выражении. Например, если по годовой ссуде в 1000 долл. выплачивается 120 долл. в качестве процента, то номинальная процентная ставка составит 12% годовых. Получив по ссуде доход в 120 долл., станет ли кредитор богаче? Это зависит от того, как в течение года изменились цены. Если цены выросли на 8%, то реально доход кредитора увеличился только на 4% (12%-8% = 4%). Реальная процентная ставка - это увеличение реального богатства, выраженное в приросте покупательной способности инвестора или кредитора, или обменный курс, по которому сегодняшние товары и услуги, реальные блага, обмениваются на будущие товары и услуги. По сути, реальная процентная ставка - это номинальная ставка, скорректированная с учетом изменения цен.
Приведенные выше определения дают нам возможность рассмотреть взаимосвязь между номинальной и реальной ставками процента и инфляцией. Она может быть выражена формулой
i = r + я, (1)
где і - номинальная ставка процента; г-реальная ставка процента; it -темп инфляции.
Уравнение (1) показывает, что номинальная процентная ставка может изменяться по двум причинам: вследствие изменений реальной ставки процента и/или вследствие изменения темпов инфляции. Реальные процентные ставки во времени меняются очень медленно, так как изменения номинальных процентных ставок вызываются изменениями темпов инфляции. Увеличение темпа инфляции на 1% вызывает повышение номинальной ставки на 1%\".
Когда заемщик и кредитор договариваются о номинальной ставке, они не знают, какие темпы примет инфляция по окончании договора. Они исходят из ожидаемых темпов инфляции. Уравнение обретает вид
- r + i[*. (2)
Поскольку невозможно точно определить будущий темп инфляции, постольку ставки корректируются по фактическому уровню инфляции. Ожидания совпадают с текущим опытом. Если уровень инфляции в будущем изменится, то возникнут отклонения фактических темпов от ожидаемых. Они называются показателем непредвиденных темпов инфляции и могут быть выражены как разность между будущими фактическими темпами и ожидаемыми темпами инфляции (тс-тсе).
Если непредвиденные темпы инфляции равны нулю (it = яГ), то ни кредитор, ни заемщик ничего не теряют и не выигрывают от инфляции. Если же непредвиденная инфляция имеет место (я -i(gt; 0), то заемщики выигрывают за счет кредиторов, так как возвращают кредит обесценившимися деньгами. В случае непредвиденной дефляции ситуация будет обратной: кредитор выиграет за счет заемщика.
1 Приведенная формула является приближением, дающим удовлетворительные результаты только при низких занчениях темпа инфляции. Чем выше темпы инфляции, тем больше ошибка уравнения (1). Точная формула для определения реальной ставки процента более сложная: і = г + я + m или г =(і - я)/ 1 + я.
Из вышесказанного можно выделить три важных момента: 1) номинальные процентные ставки включают надбавку или премию на ожидаемую инфляцию; 2) вследствие непредвиденной инфляции эта надбавка может оказаться недостаточной; 3) в результате возникнет эффект перераспределения доходов между кредиторами и заемщиками.
На эту проблему можно взглянуть и с другой стороны - с точки зрения реальных процентных ставок. В этой связи возникают два новых понятия:
- ожидаемая реальная процентная ставка - реальная ставка процента, которую ожидают заемщик и кредитор при предоставлении кредита. Она определяется ожидаемым уровнем инфляции (г- і - тс*);
- фактическая реальная процентная ставка. Она определяется фактическим уровнем инфляции (г = г - л).
При этом наряду с точностью прогнозов существует трудность в измерении реальной ставки. Она состоит в измерении инфляции, выборе индекса цен. В этом вопросе нужно исходить из того, как в конечном счете будут использоваться полученные средства. Если доходы по кредитам предназначены для финансирования будущего потребления, то подходящим измерителем дохода будет индекс потребительских цен. Если фирме для финансирования оборотного капитала нужно оценить реальную стоимость заемных средств, то адекватным станет индекс оптовых цен.
Когда темпы инфляции превышают темпы роста номинальной ставки, реальная процентная ставка будет отрицательной (меньше нуля). Хотя обычно номинальные ставки растут при росте темпов инфляции, известны периоды падения реальных процентных ставок ниже нуля\".
Отрицательные реальные ставки сдерживают кредитование. В то же время они стимулируют займы, потому что заемщик выигрывает то, что проигрывает кредитор.
При каких условиях и почему отрицательная реальная ставка существует на финансовых рынках? Отрицательные реальные ставки на некоторое время могут установиться:
- в период галопирующей инфляции или гиперинфляции кредиторы предоставляют кредиты, даже если реальные ставки отрицательные, поскольку получать некоторый номинальный доход лучше, чем держать наличные деньги;
- в период экономического спада, когда спрос на кредиты падает и номинальные процентные ставки понижаются;
- при высокой инфляции, чтобы обеспечить доходы кредиторам. Заемщики не смогут брать кредиты по таким высоким ставкам, особенно если они предполагают, что темпы инфляции вскоре замедлятся. При этом ставки по долгосрочным кредитам могут быть ниже уровня инфляции, поскольку на финансовых рынках будут ожидать падения краткосрочных ставок;
- если инфляция не носит устойчивого характера. В условиях действия золотого стандарта фактический темп инфляции может оказаться выше ожидаемого, и номинальные процентные ставки будут недостаточно высоки: «инфляция застает купцов врасплох».
а) инфляция снижает реальную стоимость займа (полученного кредита). Домовладелец, получивший ссуду по закладной, обнаружит, что размер его долга уменьшается в реальном выражении. Если рыночная стоимость его дома повышается, а номинальная стоимость его закладной остается такой же, домовладелец получает выгоду от уменьшающейся реальной стоимости своего долга. Кредитор понесет потери капитала;
б) рыночная стоимость ценных бумаг, таких, как государственные облигации или корпоративные облигации, падает, если повышается рыночная номинальная ставка процента, и, наоборот, повышается, если процентная ставка падает.
Например, если государство выпускает долгосрочные 25-летние облигации с купонной процентной ставкой, скажем, 10% и рыночная номинальная ставка процента также составляет 10%, то рыночная стоимость облигации будет равна ее номинальной стоимости, или 100 долл. на каждые 100 долл. номинальной стоимости. Теперь, если номинальная ставка повысится до 14%, то рыночная стоимость облигации упадет до 71,43 долл. (100 долл. х х 10%: 14% = 71,43 долл. на 100 долл. номинальной стоимости). Держатель облигации будет нести потери капитала в 28,57 долл. на каждые 100 долл., если он решит продать облигации на фондовой бирже. Потеря капитала вызвана ростом процентной ставки.
Можно посмотреть на эту проблему иначе. Например, держатель 100 долл. кредитного обязательства получит 100 долл. по истечении срока ссуды. Но на эти 100 долл., которые он раньше затратил на покупку обязательства, можно купить обязательство, приносящее 14%, а не 10%, которые он получает сейчас. Таким образом, рост процентной ставки приводит к потере кредитором части стоимости капитала, предоставленного взаймы.
Продолжая пример, рассмотрим падение процентной ставки до 8%, тогда перепродажная стоимость облигации повысится до 125 долл. Держатель облигации может продать данный актив с увеличением капитала на 25 долл. за сотню.
Кредитор сталкивается с постоянным изменением рыночных процент*- ных ставок из-за изменений в ожидаемых темпах инфляции. При этом, если кредитор продает ценные бумаги, он или несет потери, или увеличивает капитал. Если же он продолжает держать эти бумаги, то изменяется его реальный доход в соответствии с темпами ожидаемой инфляции.
Еще по теме Номинальная и реальная ставки процента:
- Различие между реальными и номинальными процентными ставками
- 13.2. Экономическая основа формирования уровня ссудного процента
- 13.2. Экономическая основа формирования уровня ссудного процента
- 11.3. Норма ссудного процента, ее виды, взаимосвязь и отличия от ссудного процента и нормы прибыли\r\n
- Инвестиции и реинвестиции. Формирование рыночной ставки процента
- Ссудный, депозитный, учетный процент, факторы их определяющие
- 8.6. РОЛЬ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ В ОБЕСПЕЧЕНИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ
- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право -
Финансовые учреждения стараются привлечь к себе внимание клиентов, предлагая выгодные проценты по вкладам. На первый взгляд значения доходности являются весьма привлекательными в ряде случаев. Вложить свои сбережения под ставку выше 12% в настоящий момент является сверхщедрым предложением. Однако, все видят цифры процентных ставок, выделенных крупным ярким шрифтом, и мало кто читает текст, написанный мелким шрифтом снизу. Банки заявляют только о номинальном доходе, который получит вкладчик, спустя установленный срок. Они никогда не упоминают понятие «реального дохода», а ведь именно его получает на самом деле клиент. Рассмотрим подробнее, что такое номинальная и реальная ставка по вкладу, чем они различается, в чем их сходства и как посчитать настоящий доход?
Что такое номинальная процентная ставка по вкладу?
Номинальная депозитная ставка – это то значение номинального дохода, который получит вкладчик после установленного договором срока. Именно ее указывают банки при привлечении клиентов на размещение вкладов. Она не отражает реальный доход вкладчика, который он получит с учетом обесценения денег (или инфляции) и иных расходов. Таким образом, номинальный процент по вкладу определяется несколькими составляющими:
- Реальной процентной ставкой.
- Ожидаемым темпом инфляции.
- Иными расходами вкладчика, включая НДФЛ на разницу в превышении ставки от ставки рефинансирования, увеличенной на 5 п.п.) и проч.
Из всех составляющих наибольшие колебания показывает темп годовой инфляции. Ее ожидаемое значение зависит от исторических колебаний. Если инфляция стабильно показывает невысокие значения (0,1-1%, как на Западе или США), то и в будущие периоды она закладывается на примерно том же уровне. Если государство переживало высокие показатели инфляции (например, в 90-х гг. в России этот показатель достигал 2500%), то и на будущее банкиры закладывают высокое значение.
Что такое реальная ставка по вкладу?
Реальная процентная ставка – это процентный доход, скорректированный на уровень инфляции. Ее значение обычно нигде не указывается банками. Клиент может рассчитать его самостоятельно или же положиться на честное отношение банка к себе.
Реальный доход от вложения денег на депозит всегда меньше номинального, поскольку он учитывает ту сумму, которая получиться с учетом корректировки на уровень инфляции. Реальная ставка отражает покупательную способность денег по истечению срока вклада (т.е. больше или меньше товаров можно будет приобрести на итоговую сумму по сравнению с первоначальной).
В отличие от номинального процента, реальный может иметь и отрицательные значения. Клиент не только не сохранит свои накопления, но и получит убыток. Развитые страны специально держат отрицательное значение реальных ставок, чтобы стимулировать развитие экономики. В России реальные ставки меняется с положительного на отрицательное значение, особенно в последнее время.
Как рассчитать реальную процентную ставку по вкладу?
Чтобы начать расчет, нужно определить все расходы вкладчика. К ним относятся:
- Налог. Для вкладов действует налог на доход физлиц 13%. Он применяется, если номинальный процент по рублевым вкладам будет выше СР на 5 п.п. (до 31.12.2015 г. действует условия, что НДФЛ будут облагаться вклады со ставкой выше 18,25%). Начисленный налог будет автоматически вычтен банком при выдаче накопленной суммы вкладчику.
- Инфляция. С ростом суммы накоплений растет и цена на товары и услуги. По состоянию на май 2015 года инфляция оценивалась на уровне 16,5%. На конец года ее прогнозируемое значение оценивается в 12,5% (с учетом стабилизации экономической ситуации).
Рассмотрим пример 1.
Вкладчик успел в начале года разместить 100 тыс.руб. под 20% годовых на 1 год без капитализации с выплатой процентов в конце срока. Рассчитаем его реальный доход.
Номинальный доход (НД) составит:
100 000+(100 000*20%) = 120 000 руб.
Реальный доход:
РД = НД — Налог — Инфляция
Налог=(100 000 * 20% — 100 000 * 18,25%) * 13%=227,5 руб.
Инфляция=120 000*12,5% = 15 000 руб.
Реальный доход=120 000 -227, 5-15 000=104 772,5 руб.
Таким образом, вкладчик увеличил свое благосостояние фактически всего на 4 772 руб., а не на 20 000 руб., как было заявлено банком.
Рассмотрим пример 2.
Вкладчик разместил 100 тыс.руб. под 11,5% годовых на 1 год с выплатой процентов в конце срока вклада. Рассчитаем его реальную прибыль.
Номинальная прибыль составит:
100 000+(100 000*11,5%) = 111 500 руб.
Налог=0, т.к. процентная ставка ниже СР+5 п.п..
Инфляция=111 500 * 12,5% = 13 937,5 руб.
Реальный доход=111 500 — 13 937,5=97 562,5 руб.
Убыток = 100 000 — 97 562,5 = 2437,5 руб.
Таким образом, в этих условиях покупательная способность накоплений вкладчика оказалась отрицательной. Он не только не смог приумножить сбережения, но и потерял часть.
а) ставка процента, устанавливаемая без учета изменения покупательной стоимости денег в связи с инфляцией (или общая ставка процента, в которой не элиминирована ее инфляционная составляющая);
б) процентная ставка по ценной бумаге с фиксированным доходом, которая предусматривает ее использование по отношению к номинальной стоимости, а не к рыночной цене этой ценной бумаги.
Страница была полезной?
Еще найдено про номинальная ставка процента
- Разъяснение алгоритма вычисления свободного денежного потока фирмы и свободного денежного потока собственникам на примере публичной финансовой отчетности Согласно пояснениям к финансовой отчетности номинальные ставки процентов по кредитам не превышают установленных в Налоговом кодексе РФ лимитов Детальной информации
- Реальная ставка процента Реальная ставка процента равна номинальной ставке процента минус уровень инфляции Далее номинальная ставка процента Страница была полезной
- Номинальная процентная ставка Номинальная процентная ставка Номинальная процентная ставка - это ставка банковского процента в числовом выражении Показывает прирост номинальной величины
- Номинал Далее номинальная стоимость номинальная ставка процента Синонимы Нарицательная стоимость Страница была полезной
- Купон облигации Доход по купонам устанавливается в виде процентной ставки процента к номинальной стоимости ценной бумаги которая может быть постоянной гарантированной или фиксированной на все
- Эффективная ставка процента Далее номинальная ставка процента Страница была полезной
- Купонная ставка Представляет собой отношение купонной ставки к рыночной стоимости облигации выражена в процентах от номинальной стоимости облигаций Сумма процентов за
- Необходимость учета прочих доходов и расходов при маржинальном анализе В этом случае эффективная ставка лишь незначительно превышает номинальную ставку платы за кредит предусмотренную кредитным договором При оформлении кредита на условиях добавленного процента
- Номинальный доход Если акция или облигация приобретается по номинальной стоимости номинальный доход равен реальному доходу поскольку рыночные курсы ценных бумаг с фиксированным доходом падают когда рыночные процентные ставки растут Под номинальным доходом населения подразумевается совокупность денежных поступлений за определенный период Номинальные
- Оценка стоимости факторинга услуг компании НДС по действующей налоговой ставке и определяет ся по следующей формуле Д Д Д 18% 1 Д Цном ПРфин... Тпл 365, где Цном номинальная сумма денежного требования в рублях ПРфин процент финансирования денежного требования от суммы требования CTпp
- Депозитный сертификат По процентным сертификатам могут устанавливаться следующие методы выплаты процентов фиксированная ставка процента колеблющаяся ставка процента величина которой привязана к какому-то финансовому показателю ставка рефинансирования и др Первичное размещение дисконтных
- Привилегированная акция Размер дивиденда по привилегированным акциям закреплен в уставе как правило выражается в проценте от чистой прибыли компании или номинальной стоимости акции В России в достаточной степени распространена
- Амортизационные отчисления и их роль в формировании инвестиционного потенциала предприятия Чтобы ее учесть необходимо в этой формуле вместо номинальной процентной ставки Е учесть реальную процентную ставку Е p учитывающую инфляцию Поэтому коэффициент амортизационных
- Оценка дебиторской задолженности МУП ЖКХ в процессе конкурсного производства Обесценение дебиторской задолженности зависит от 2-х факторов инфляции и процентов за пользование чужими денежными средствами ссудой банка то есть косвенных потерь кредитора из-за отвлечения... Rp 1 In In где Rn - номинальная ставка с учетом инфляции Rp - реальная ставка без учета инфляции - в качестве
- Дисконт облигации Предположим что нормальная ставка приблизилась к 7% годовых Инвестором выгодно покупать эту ценную бумагу спрос на нее велик... Скорее всего такая облигация будет продаваться с премией 3% от номинальной стоимости Справедливо и обратное Допустим облигация выпущена с купоном всего 3% то есть с... Допустим облигация выпущена с купоном всего 3% то есть с процентным платежом заведомо ниже рыночного под такой доход инвесторам будет неинтересно вкладывать деньги И тогда
- ООО руб на 10 лет из расчета 15 % годовых и продает их за 95 % номинальной стоимости Если проценты по облигациям разрешено законодательством относить на себестоимость продукции то реальная стоимость... СП ставка купонного процента по облигации % Зэ уровень эмиссионных затрат по отношению к объему эмиссии
- Безрисковая ставка доходности Безрисковая ставка доходности - это ставка процента в высоколиквидные активы т е это ставка которая отражает фактические рыночные возможности вложения денежных... В процессе оценки учитывают что номинальные и реальные безрисковые ставки могут быть как рублевые так и валютные Анализ безрисковой ставки
- Курс акций Первоначально при выпуске акции формируется ее номинальный курс который указывается на самой акции В процессе купли-продажи выявляется рыночный курс акций или... Рыночный курс акций определяется конъюнктурными соображениями складывающимся соотношением между ставкой дивиденда и банковского процента по долгосрочным ссудам репутацией акционерного общества и результатами его финансово-хозяйственной
- Рыночная доходность Например облигация номинальной стоимостью в 100 руб и 5-процентной ставкой принесет годовой доход в 5 руб Однако... Однако если эту бумагу можно купить на открытом рынке за 50 руб тогда фактическая процентная ставка по ней увеличится до 10% и доход составит 10 руб на вложенные 50
- Капитализация Независимо от номинальной цены акций на фондовом рынке они продаются по рыночной цене или курсу находящемуся в... N количество периодов капитализации % - процентная ставка идентичная по каждому из периодов капитализации Далее капитализация прибыли коэффициент капитализации прибыли капитализация
Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году
(например, по месяцам, по кварталам, по полугодиям). Для рассмотрения этого случая введем понятие номинальной ставки.
Номинальная ставка - это годовая ставка, проценты по которой начисляются m раз в году (m > 1). Обозначим ее через j . Следовательно, за один период проценты начисляются по ставке j / m.
Пример. Если по номинальной ставке j = 20 % происходит начисление 4 раза в год, то ставка за один период (квартал) будет равна
20 % : 4 = 5%.
Формулу (8) теперь можно представить следующим образом:
S = P (1 + j / m) N , (10)
где N - общее количество периодов начисления, N= m×t, t - количество лет. С ростом частоты m начислений в году коэффициент наращения и, следовательно, абсолютный годовой доход растут.
Эффективная процентная ставка
Для сравнения реального относительного дохода за год при начислении процентов один и m раз, введем понятие эффективной ставки процентов.
Эффективная годовая ставка процентов i эф - это ставка, измеряющая реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов, т. е. i эф - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке за период i = j/ m .
Эффективная ставка находится из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за один год:
1 + i эф = (1 + j / m) m .
Отсюда следует, что
i эф = (1 + j / m) m - 1(11)
Пример. Определите эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j =18 %, при ежеквартальном начислении процентов (m =4).
Решение. Из формулы (11) получаем:
i эф = (1 + 0,18 / 4) 4 - 1 = 0, 1925 (или 19, 25 %).
Пример . Найдите эффективную ставку, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов.
Решение. i эф = (1 + 0,25 / 12) 12 - 1 = 0,2807 или 28,07 %.
Для сторон в сделке безразлично, применить ставку 25 % (при помесячном начислении) или годовую ставку 28,07 %.
Пример. Найдите номинальную процентную ставку, проценты по которой начисляются по полугодиям, эквивалентную номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.
Решение . Пусть j 2 - процентная ставка, соответствующая начислению по полугодиям, j 12 - по месяцам.
Из равенства коэффициентов наращения получаем:
(1 + j 2 / 2) 2 = (1 + j 12 / 12) 12 ,
1 + j 2 / 2 = (1 + j 12 / 12) 6 Þ j 2 = 2[(1 + j 2 / 12) 6 - 1] =
2 [(1 + 0,24/12) 6 - 1 ] = 0,25 или j 2 = 25 %.
Непрерывное начисление процентов
Сумма, наращенная за t лет по формуле (10) при постоянной процентной ставке j m с увеличением числа m увеличивается, но при неограниченном возрастании m сумма S = S m стремится к конечному пределу.
Действительно
Этот факт дает основание применять непрерывное начисление процентов по годовой ставке d. При этом наращенная сумма за время t определяется формулой
S = Pe d t . (12)
Процентная ставка d называется силой роста .
Пример. Банк начисляет проценты по непрерывной ставке d=8 % на сумму 20 тыс. руб. в течение 5 лет. Найти наращенную сумму.
Решение. Из формулы (12) следует, что наращенная сумма
S = 20 000 e 0,08 × 5 = 20 000 × e 0,4 = 20 000 × 1,49182 = 29 836,49 руб.
Задачи
3.1. Сумма 400 тыс. руб. инвестируется на 2 года под 30 % годовых. Найдите наращенную сумму и сложные проценты за этот срок.
3.2. Кредит размером 500 тыс. руб. выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 10 % в месяц. Вычислите полную сумму долга к концу срока.
3.3. Определите сложные проценты за полтора года, начисленные на 70 тыс. руб. по ставке 5 % за квартал.
3.4. На срочный вклад в банке зачислено $200 по ставке 6 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 2, 3, 4 и 5 лет при условии начисления: а) простых процентов; б) сложных процентов; в) непрерывных процентов.
3.5. Рассчитайте эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 36 %, при ежемесячном начислении процентов. Ответ: 42,6 %.
3.6. Для номинальной ставки 12 % с начислением процентов два раза в год вычислите эквивалентную ставку, проценты по которой начисляются ежемесячно.
УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ
В современных условиях инфляция часто играет решающую роль, и без ее учета конечные результаты представляют собой весьма условную величину. В реальной жизни инфляция проявляется в падении покупательной способности денег и общим уровнем повышения цен. Следовательно, ее необходимо учитывать при проведении финансовых операций. Рассмотрим способы ее учета.
Темпы инфляции измеряются с помощью системы индексов инфляции , которые характеризуют среднее изменение уровня цен для некоторого фиксированного набора (корзины) товаров и услуг за определенный период времени. Пусть стоимость корзины в момент времени t равна S(t) .
Индексом цен или индексом инфляции J P за время от t 1 до t 2 называется безразмерная величина
J P = S(t 1 ) / S(t 2 ),
атемпом инфляции за этот период называется относительный прирост цен:
h =
=
J P -
1.
Отсюда индекс цен
J P = 1 + h.
Если срок рассмотрения инфляции включает в себя n периодов, в каждом из которых средний темп инфляции равен h , то
J P = (1 + h) n .
В случае, когда темп инфляции в i - ом периоде равен h i , индекс инфляции за n периодов вычисляется по формуле
J P = (1 + h 1 ) (1 + h 2 )…(1 + h n).
Индекс инфляции J P показывает во сколько раз, а темп инфляции h - на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период.
Индекс покупательной способности денег J D равен обратной величине индекса цен:
J D = 1 / J P = 1/ (1 + h).
Пример. Вы имеете сумму в 140 тыс. руб. Известно, что за два предшествующих года цены выросли в два раза, т.е. индекс цен J P = 2. В этом случае индекс покупательной способности денег равен J D = 1/2. Значит, реальная покупательная способность 140 тыс. руб. составит в момент получения всего 140 × 1/2 = 70 тыс. руб. в деньгах двухлетней давности.
Если h - годовой темп инфляции, то годовой индекс цен равен 1 + h , поэтому наращенная сумма с учетом инфляции
S и = P (1 + i) n = P (13)
Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции h равен ставке процентов i , то S и = P , т.е. роста реальной суммы не произойдет: наращение будет поглощаться инфляцией. Если h > i , то реальная сумма меньше первоначальной. Только в ситуации h < i происходит реальный рост.
Пример. Постоянный темп инфляции на уровне 10% в месяц за год приводит к росту цен в размере J P = 1,1 12 = 3,14. Таким образом, годовой темп инфляции h = J P - 1 = 2,14 или 214%.
В целях уменьшения воздействия инфляции и компенсации потерь от снижения покупательной способности денег используется индексация процентной ставки. При этом ставка корректируется в соответствии с темпом инфляции.
Скорректированная ставка называется брутто-ставкой. Вычислим эту ставку, обозначив ее через r .
Если компенсируется инфляция в размере брутто-ставки при наличии простых процентов, то величину r находим из равенства множителей наращения:
1 + n× r = (1 + n × i) J P = (1 + n × i)(1 + h) n ,
(14)
Величину брутто-ставки для наращения по сложной процентной ставке находим из равенства (n = 1):
1 + r = (1 + i)(1 + h),
r = i + h + h×i (15)
Формулы (14), (15) означают следующее: чтобы обеспечить реальную доходность в i %, при темпе инфляции h нужно назначить ставку в размере r %.
Пример. Банк выдал на 6 месяцев кредит - 5 млн руб. Ожидаемый месячный уровень инфляции – 2 %, требуемая реальная доходность операции равна 10 % годовых. Определите ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, размер наращенной суммы и величину процентного платежа.
Решение. Индекс инфляции J P = (1 + 0,02) 6 = 1,1262. Из (14) получим величину брутто-ставки:
r
= 
=0,365 (или 36,5 %).
Размер наращенной суммы
S= P(1 + n r) = 5 (1 + 0,5×0,365) = 5,9126 млн. руб.
Величина процентного платежа (плата за кредит)
I = 5,9126 - 5,0 = 0,9126 млн. руб.
Пример. Кредит в 1 млн. руб. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16% в год. Определите ставку процента при выдаче кредита, а также наращенную сумму.
Решение. Из формулы (15) имеем:
r = 0,11+0,16+ 0,11× 0,16 = 0,2876;
S = 1,0 (1 + 0,2876) 2 = 1,658 млн. руб.
Задачи
4.1. Кредит 500 тыс. руб. выдается с 20.06.98г. по 15.09.98г. При выдаче кредита считается, что индекс цен к моменту его погашения составит 1,3. Определите брутто-ставку и погашаемую сумму.
Ответ: R = 134% ; S R = 658 194 руб.
4.2. Кредит в размере 5 млн руб. выдается на 3 года. Реальная доходность операции должна составлять 3 % годовых по сложной ставке. Расчетный уровень инфляции составляет 10% в год. Вычислите брутто-ставку и погашаемую сумму. Ответ: R = 13,3 % ; S к R = 7 272 098 руб.
4.3. В банк помещен вклад в сумме 100 тыс. руб. под 100 % годовых сроком на 5 лет. Ожидаемый в течение этого периода темп инфляции h = =50 % в год. Определите реальную сумму, которую будет иметь клиент по истечении пяти лет: а) с учетом инфляции; б) без учета инфляции.
4.4. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 11% реальная доходность оказалась 6 %.
ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ
Обычная годовая рента
Финансовые операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примером могут служить погашение займа, арендная плата и т.д. Такие последовательности платежей называютпотоком платежей .
Пусть финансовая операция по договору начинается в момент t 0, а заканчивается в момент t n . Выплаты R k (k = 1,2,..,n ) происходят в моменты t k . Обычно полагают t 0 = 0 (рис. 1).
Финансовой рентой называется последовательность периодических выплат R k , R k > 0 , осуществляемых через равные промежутки времени.
Выплаты R k называют членами ренты. Если все выплаты одинаковы, т.е. R k = R , то рента называется постоянной.
Пусть d - период ренты, а n - число выплат, тогда произведение периода на число выплат nd представляет собой календарный срок ренты . Если выплата производится в конце каждого периода (рис. 1), то рента называется обычной , а если в начале периода, то приведенной (рис. 2).
Выбирая базовуюединицу времени, зададим процентную ставку ренты (сложную). Найдем наращенную сумму S обычной годовой ренты, состоящей из n выплат, т.е. сумму всех членов потока платежей с начисленными на них процентами к концу срока. Для этого рассмотрим конкретную задачу. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых (рис. 3).
Наращенная сумма S состоит из n слагаемых. Именно
S = R + R(1 + i) + R(1 + i) 2 + ...+ R( 1 + i) n- 1
Справа стоит сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем 1 + i . По формуле суммы геометрической прогрессии получим
(16)
s(n;i) и называется коэффициентом наращения обычной ренты. Формулу (16) можно переписать в виде
S = R s(n; i)
Современной стоимостью ренты A называется сумма всех членов ренты, дисконтированных на начало срока ренты. Из условия эквивалентности для текущего и наращенного значения обычной ренты находим современное значение ренты А :
S = A(1 + i) n или A = S(1 + i) -n .
Таким образом,
. (17)
Выражение обозначается символом a(n;i) и называется дисконтирующим множителем обычной ренты или коэффициентом приведения ренты. Таким образом, современное значение ренты
A = R × a(n; i) .
Пример. Найдите текущее и наращенное значение ренты с выплатами по 320 тыс. руб. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 24 % годовых.
Решение. Эффективная ставка за месяц равна 24 %: 12 = 2 % Текущее значение вычисляется по формуле (17):
A = 320 = 6052, 4619 тыс. руб.
Наращенное значение вычисляется по формуле (14):
S = = 9734,9952 тыс. руб.
Пример. Фирма приняла решение о создании инвестиционного фонда. С этой целью в течение 5 лет в конце каждого года в банк вносится 100 тыс. руб. под 20 % годовых с последующей их капитализацией, т.е. прибавлением к уже накопленной сумме. Найдите сумму инвестиционного фонда.
Решение. Здесь рассматривается обычная годовая рента с ежегодными платежами R = 100 тыс. руб. в течение n = 5 лет. Процентная ставка i = 20%. Из формулы (16) находим:
S = 100 = 744,160 тыс. руб.
Приведенная рента
Различие между обычной рентой и приведенной заключается в том, что все выплаты R у приведенной ренты смещены влево на один период относительно выплат обычной ренты (сравним рис. 4а и 4б).
Легко понять, что на каждый член приведенной ренты начисляется процентов на один период больше, чем в обычной ренте.
Отсюда наращенная сумма приведенной ренты S P больше в (1 + i ) раз наращенной суммы обычной ренты:
S P = S (1 + i ) и s P (n ; i ) = s (n ; i ) (1 + i ).
Точно такой же зависимостью связаны современные стоимости обычной ренты А и приведенной ренты А P :
А P =А (1 + i ), а P (n ; i ) = a(n ; i ) (1 + i ) . (18)
Пример. Кредит в сумме 5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячными выплатами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i =3 % в месяц. Найдите сумму ежемесячного взноса R при платеже:
а) постнумерандо (обычная рента),
б) пренумерандо (приведенная рента).
Решение . а) R × a(12;0,03) = 5 млн руб.
Коэффициент приведения a(12; 0,03) = 
= 9,95400 .
Отсюда R = 5млн руб./ 9,95400 = 502311 руб.
б) Аналогично предыдущему: R × a(12;0,03) = 5 млн руб. Из формулы (18):
а P (12;0,03) = a(12;0,03) × (1+ i ) = 9,954 × 1,03 = 10,25262 ;
R = 5 млн руб./10,25262 = 487680 руб.
Отложенная рента
Если срок ренты начинается в некоторый момент в будущем, то такая рента называется отложенной или отсроченной . Отложенную ренту будем считать обычной. Длина временного интервала от настоящего момента до начала ренты называется периодомотсрочки . Так период отсрочки ренты с выплатами по полугодиям и первой выплатой через два года равен 1,5 годам (рис. 5).
На рис. 5 цифра 3 (1,5 года) означает начало ренты. Начало выплат у отложенной ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Ясно, что сдвиг по времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело - современная стоимость ренты А .
Пусть рента выплачивается спустя k лет (или периодов) после начального периода времени. На рис.5 начальный период обозначен цифрой 0, а современная стоимость обычной ренты - А . Тогда современная величина отложенной на k лет ренты А k равна дисконтированной величине А , то есть
А k = А(1+ i)-k= R·а (n;i) (1+ i)-k . (19)
Пример. Найдите текущее значение отложенной ренты с выплатами по 100 тыс. руб. в конце каждого полугодия, если первая выплата произойдет через два года, а последняя - через пять лет. Проценты начисляются по ставке 20 % за полгода.
Решение. Начало ренты через три полугодия. Первая выплата производится в конце четвертого полугодия, а последняя - в конце. Всего 7 выплат. Из формулы (18) при k = 3; n = 7; i = 0,2 , получим:
А 3 = 100· = 208599 руб.
Пример. Найдите величину ежегодных выплат отложенной на два года ренты сроком 5 лет, современное значение которой 430 тыс. руб. Проценты начисляются по ставке 21 % годовых.
Решение. Из формулы (19) находим:
R = А k (1+ i )k /а(n ;i ) .
При k = 2; n = 5; i = 0,21 , получим:
R = 430 ·1,21 2 = 215163 руб.
Нами был рассмотрен метод расчета наращенной суммы и современной величины, когда выплаты по ренте производятся один раз в году и начисление процентов происходит также один раз в году. Однако в реальных ситуациях (в контрактах) могут предусматриваться и другие условия поступления рентных платежей, а также порядок начисления на них процентов.
5.4. Годовая рента при начисление процентов m раз в году
В этом случае рентные платежи вносятся 1раз в году. Начисление процентов будет производиться по ставке j /m , где j - номинальная (годовая) ставка сложных процентов. Величина наращенной суммы получится из формулы (16) , если в ней положить
i = (1+ j /m ) m - 1 (см. (11)).
В результате получим:
(20)
Пример. Страховая компания, заключившая договор с фирмой на 3 года, ежегодные страховые взносы в размере 500 тыс. руб. помещает в банк под 15% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определите сумму, полученную страховой компанией по этому контракту.
Решение . Полагая в формуле (20) m = 2; n = 3; R = 500; j = 0,15 , получим:
S
= 500 
= 1 746 500 руб.
5.5. P - срочная рента
Рентные платежи вносятся P раз в году равными суммами, а начисление процентов производится один раз в конце года (m = 1). В этом случае член ренты будет равен R /P , а формула для наращенной суммы получается из формулы (16), в которой ставка за период i P находится из условия финансовой эквивалентности (всего периодов P ·n ):
(1 + i ) = (1 + i P ) P , i P = (1+ i ) 1/P – 1.
Подставляя полученную ставку за период i P в (16), имеем:
(21)
Пример. Страховая компания принимает установленный годовой страховой взнос 500 тыс. руб. дважды в год в течение 3 лет. Банк, обслуживающий страховую компанию, начисляет ей сложные проценты из расчета 15 % годовых один раз в году. Определите сумму, полученную компанией по истечении срока договора.
Решение. Здесь R = 500; n = 3; P = 2; m = 1. По формуле (21) находим:
S
= · 
= 1779 тыс. руб.
Вечная рента
Под вечной рентой понимается рента с бесконечным числом платежей. Очевидно, что наращенная сумма такой ренты бесконечна, но современная величина такой ренты равна A = R /i . Для доказательства этого факта используем формулу (17) для конечной ренты:
A = R /i .
Переходя в этой формуле к пределу при n ® ¥, получим, что A = R /i .
Пример: Фирма арендует здание за $5 000 в год. Какова выкупная цена здания при годовой ставке процента 10 %?
Решение. Выкупная цена здания есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна A = R /i = 50 000 дол.
Объединение и замена рент
Общее правило объединения рент: находятся современные величины рент (слагаемых) и складываются, а затем подбирается рента - сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами.
Пример. Найдите объединение двух рент: первая длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, вторая - 8 и 800. Годовая ставка процента
Решение. Современные величины рент равны:
A 1 = R 1 × a (5;0,08)= 1000 × 3,993 = 3993; A 2 = R × a (8;0,08) = =800×5,747=4598.
А = А 1 + А 2 = 3993 + 4598 = 8591.
Следовательно, у объединенной ренты современная величина А = 8591. Далее можно задать либо длительность объединенной ренты, либо годовой платеж, затем второй из этих параметров определим из формул для рент.
Задачи
5.1. На депозитный счет с начислением сложных процентов по ставке 80 % годовых будут ежегодно в течение 5 лет вноситься суммы по 500 тыс. руб. в начале каждого года. Определите накопленную сумму.
5.2. На депозитный счет в конце каждого квартала будут вноситься суммы по 12,5 тыс. руб., на которые также ежеквартально будут начисляться сложные проценты по номинальной годовой ставке 10 % годовых. Определите накопленную за 20 лет сумму. Ответ: 3 104 783 руб.
5.3. Вычислите сумму, которую необходимо положить на счет частного пенсионного фонда, чтобы он смог выплачивать своим участникам ежемесячно 10 млн. руб. Фонд может инвестировать свои средства по постоянной ставке 5 % в месяц.
(Указание: использовать модель вечной ренты).
5.4. Бизнесмен арендовал коттедж за $10 000 в год. Какова выкупная цена коттеджа при годовой ставке 5 %. Ответ: $200 000.
5.5. В ходе судебного заседания выяснилось, что г-н А недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние два года налоги вместе с процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму должен заплатить г-н А.
5.6. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $1000 в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 5 % по схеме сложных процентов. Сколько накопится на счете через 5 лет.
5.7. Замените годовую пятилетнюю ренту с годовым платежом $1000 на ренту с полугодовым платежом по $600. Годовая ставка 5 %.
5.8. Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом $700 шестилетней годовой рентой. Годовая ставка 8 %.
5.9. Какую сумму необходимо положить в банк родителям студента, обучающегося в платном институте, чтобы раз в полгода в течение 4 лет банк перечислял в институт $420. Банковская ставка 8 % в год.
ПОГАШЕНИЕ ДОЛГА (КРЕДИТА)
В этом параграфе дается применение теории рент к планированию погашения займа (долга).
Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика периодических платежей должника. Расходы должника называются расходами по обслуживанию долга или амортизацией займа
. Эти расходы включают как текущие процентные платежи
, так и средства, предназначенные для погашения основного долга
.Существуют различные способы погашения долга. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности. Важнейшим элементом плана является определение числа выплат в течение года, т.е. определение числа срочных уплат
