Производная от координаты по времени есть скорость. x'(t)=v(t) Физический смысл производной. Скорость как производная Производная от скорости времени есть

Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:

Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

Рассмотрим задачи:

x (t) = t 2 – 7t – 20

где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 имеем:

Ответ: 3

Решить самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают.

Ж.Даламбер

Межпредметные связи являются дидактическим условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ наук в школе.
Кроме того, они способствуют повышению научного уровня знаний учащихся, развитию логического мышления и их творческих способностей. Реализация межпредметных связей устраняет дублирование в изучении материала, экономит время и создаёт благоприятные условия для формирования общеучебных умений и навыков учащихся.
Установление межпредметных связей в курсе физики повышает эффективность политехнической и практической направленности обучения.
В преподавании математики очень важна мотивационная сторона. Математическая задача воспринимается учащимися лучше, если она возникает как бы у них на глазах, формулируется после рассмотрения каких-то физических явлений или технических проблем.
Сколько бы ни говорил учитель о роли практики в прогрессе математики и о значении математики для изучения физики, развития техники, но если он не показывает, как физика влияет на развитие математики и как математика помогает практике в решении её проблем, то развитию материалистического мировоззрения будет нанесен серьёзный ущерб. Но для того, чтобы показать, как математика помогает в решении её проблем, нужны задачи, не придуманные в методических целях, а возникающие на самом деле в различных областях практической деятельности человека

Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

• о разыскании касательной к произвольной линии;
• о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Николо Тартальи (около 1500 – 1557гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Некоторые применения производной в физике

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции .

Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Таким образом,

Значит, чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x 0 по определению, нужно:

Рассмотрим несколько физических задач, при решении которых применяется эта схема.

Задача о мгновенной скорости. Механический смысл производной

Напомним, как определялась скорость движения. Материальная точка движется по координатной прямой. Координата х этой точки есть известная функция x(t) времени t. За промежуток времени от t 0 до t 0 + перемещение точки равно x(t 0 + ) – x(t 0) – а её средняя скорость такова: .
Обычно характер движения бывает таковым, что при малых , средняя скорость практически не меняется, т.е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при стремится к некоторому вполне определённому значению, которое называют мгновенной скоростью v(t 0) материальной точки в момент времени t 0 .

Итак,

Но по определению
Поэтому считают, что мгновенная скорость в момент времени t 0

Аналогично рассуждая, получаем, что производная от скорости по времени есть ускорение, т.е.

Задача о теплоемкости тела

Чтобы температура тела массой в 1г повысилась от 0 градусов до t градусов, телу необходимо сообщить определенное количество тепла Q . Значит, Q есть функция температуры t , до которой тело нагревается: Q = Q(t). Пусть температура тела повысилась с t 0 до t. Количество тепла, затраченное для этого нагревания, равно Отношение есть количество тепла, которое необходимо в среднем для нагревания тела на 1 градус при изменении температуры на градусов. Это отношение называется средней теплоёмкостью данного тела и обозначается с ср .
Т.к. средняя теплоёмкость не дает представления о теплоёмкости для любого значения температуры Т, то вводится понятие теплоёмкости при данной температуре t 0 (в данной точке t 0 ).
Теплоемкостью при температуре t 0 (в данной точке) называется предел

Задача о линейной плотности стержня

Рассмотрим неоднородный стержень.

Для такого стержня встаёт вопрос о скорости изменения массы в зависимости от его длины.

Средняя линейная плотность масса стержня есть функция его длины х .

Таким образом, линейная плотность неоднородного стержня в данной точке определяется следующим образом:

Рассматривая подобные задачи, можно получить аналогичные выводы по многим физическим процессам. Некоторые из них приведены в таблице.

Функция	Формула	Вывод
m(t) – зависимость массы расходуемого горючего от времени.		Производная массы по времени есть скорость расхода горючего.
T(t) – зависимость температуры нагреваемого тела от времени.		Производная температуры по времени есть скорость нагрева тела.
m(t) – зависимость массы при распаде радиоактивного вещества от времени.		Производная массы радиоактивного вещества по времени есть скорость радиоактивного распада.
q(t) – зависимость количества электричества, протекающего через проводник, от времени		Производная количества электричества по времени есть сила тока .
A(t) – зависимость работы от времени		Производная работы по времени есть мощность .

Практические задания:

Снаряд, вылетевший из пушки, движется по закону x(t) = – 4t 2 + 13t (м). Найти скорость снаряда в конце 3 секунды.

Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента времени t = 0 c, задаётся формулой q(t) = 2t 2 + 3t + 1 (Кул) Найдите силу тока в конце пятой секунды.

Количество тепла Q (Дж), необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 o до t o С, определяется формулой Q(t) = t + 0,00002t 2 + 0,0000003t 3 . Вычислите теплоемкость воды, если t = 100 o .

Тело движется прямолинейно по закону х(t) = 3 + 2t + t 2 (м). Определите его скорость и ускорение в моменты времени 1 с и 3 с.

Найдите величину силы F, действующей на точку массой m, движущуюся по закону х(t) = t 2 – 4t 4 (м), при t = 3 с.

Тело, масса которого m = 0,5кг, движется прямолинейно по закону х(t) = 2t 2 + t – 3 (м). Найдите кинетическую энергию тела через 7 с после начала движения.

Заключение

Можно указать еще много задач из техники, для решения которых также необходимо отыскивать скорость изменения соответствующей функции.
Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени.
Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства. Этот предел и назвали производной функции.

Итак, на ряде примеров мы показали, как различные физические процессы описываются с помощью математических задач, каким образом анализ решений позволяет делать выводы и предсказания о ходе процессов.
Конечно, число примеров такого рода огромно, и довольно большая часть из них вполне доступна интересующимся учащимся.

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн .

Список литературы :

1. Абрамов А.Н., Виленкин Н.Я. и др. Избранные вопросы математики. 10 класс. – М: Просвещение, 1980.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов А.П. За страницами учебника математики. – М: Просвещение,1996.
3. Доброхотова М.А., Сафонов А.Н . Функция, её предел и производная. – М: Просвещение, 1969.
4. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М: Просвещение, 2010.
5. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике. – М: Учпедгиз, 1963.
6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, ч.1 – М: Наука, 1955.
7. Яковлев Г.Н. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, ч.1 – М: Наука, 1987.

Переходя к физическим приложениям производной, мы будем использовать несколько иные обозначения те, которые приняты в физике.

Во-первых, меняется обозначение функций. В самом деле, какие функции мы собираемся дифференцировать? Этими функциями служат физические величины, зависящие от времени. Например, координата тела x(t) и его скорость v(t) могут быть заданы формулами вроде таких:

Имеется ещё одно обозначение производной, очень распространённое как в математике, так и в физике:

(читается ¾дэ икс по дэ тэ¿).

Остановимся подробнее на смысле обозначения (29 ). Математик понимает его двояко либо как предел:

либо как дробь, в знаменателе которой стоит приращение времени dt, а в числителе так называемый дифференциал dx функции x(t). Понятие дифференциала не сложно, но мы не будем его сейчас обсуждать; оно ждёт вас на первом курсе.

Физик, не скованный требованиями математической строгости, понимает обозначение (29 ) более неформально. Пусть dx есть изменение координаты за время dt. Возьмём интервал dt настолько маленьким, что отношение dx=dt близко к своему пределу (30 ) с устраивающей нас точностью.

И тогда, скажет физик, производная координаты по времени есть попросту дробь, в числителе которой стоит достаточно малое изменение координаты dx, а в знаменателе достаточно малый промежуток времени dt, в течение которого это изменение координаты произошло. Такое нестрогое понимание производной характерно для рассуждений в физике. Далее мы будем придерживаться именно этого физического уровня строгости.

Давайте вернёмся к исходному примеру (26 ) и посчитаем производную координаты, а заодно посмотрим на совместное использование обозначений (28 ) и (29 ):

x(t) = 1 + 12t 3t2 ) x(t) =dt d (1 + 12t 3t2 ) = 12 6t:

(Символ дифференцирования dt d перед скобкой это всё равно что штрих сверху за скобкой в прежних обозначениях.)

Обратите внимание, что вычисленная производная координаты оказалась равна скорости тела (27 ). Это не случайное совпадение, и нам нужно обсудить его более подробно.

2.1 Производная координаты

Прежде всего заметим, что скорость в (27 ) может быть как положительной, так и отрицательной. А именно, скорость положительна при t < 2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t > 2.

Как это понимать? Очень просто: мы имеем дело не с абсолютной величиной скорости, а с проекцией vx вектора скорости на ось X. Поэтому вместо (27 ) правильнее было бы написать:

Если вы забыли, что такое проекция вектора на ось, то прочитайте соответствующий раздел статьи ¾Векторы в физике ¿. Здесь мы напомним лишь, что знак проекции vx отражает связь направления скорости и направления оси X:

vx > 0 , тело движется в направлении оси X ; vx < 0 , тело движется против оси X.

(Например, если vx = 3 м/с, то это означает, что тело движется со скоростью 3 м/с в сторону, противоположную оси X.)

Поэтому в нашем примере (31 ) мы имеем следующую картину движения: при t < 2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t > 2 тело, разгоняясь, движется в отрицательном направлении оси X.

Допустим, что скорость тела по абсолютной величине равна v. Возможны два случая направления движения.

1. Если тело движется в положительном направлении оси X, то малое изменение координаты dx положительно и равно пути, проходимому телом за время dt. Поэтому

x = dx dt = v:

2. Если тело движется в отрицательном направлении оси X, то dx < 0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или

x = dx dt = v:

Заметим теперь, что в первом случае vx = v, а во втором случае vx = v. Тем самым оба случая объединяются в одну формулу:

и мы приходим к важнейшему факту: производная координаты тела равна проекции скорости тела на данную ось.

Легко видеть, что работает признак возрастания (убывания) функции. А именно:

x > 0) vx > 0) тело двигается в направлении оси X) координата x увеличивается; x < 0) vx < 0) тело двигается против оси X) координата x уменьшается:

2.2 Ускорение

Скорость тела характеризует быстроту изменения его координаты. Но скорость также может меняться медленнее или быстрее. Характеристикой быстроты изменения скорости служит физическая величина, называемая ускорением.

Пусть, например, скорость автомобиля при равномерном разгоне увеличилась с v0 = 2 м/с до v = 14 м/с за время t = 3 с. Ускорение автомобиля вычисляется по формуле:

Таким образом, за одну секунду скорость автомобиля увеличивается на 4 м/с.

А чему равно ускорение, если скорость, наоборот, уменьшилась с v0 = 14 м/с до v = 2 м/с за то же время t = 3 c? Тогда по формуле (33 ) получаем:

За одну секунду, как видим, скорость уменьшается на 4 м/с.

Можно ли говорить об ускорении, если скорость меняется неравномерно? Конечно, можно, но только это будет мгновенное ускорение, которое также зависит от времени. Схема рассуждений вам уже хорошо знакома: в формуле (33 ) вместо промежутка времени t берём малый промежуток dt, вместо разности v v0 берём приращение dv скорости за время dt, и в результате получаем:

Таким образом, получается, что ускорение это производная скорости.

Формула (34 ), однако, не описывает все ситуации, которые возникают в механике. Например, при равномерном движении по окружности скорость тела не меняется по модулю, и в соответствии с (34 ) мы должны были бы получить a = v = 0. Но вы прекрасно знаете, что ускорение у тела имеется, оно направлено к центру окружности и называется центростремительным. Поэтому формула (34 ) нуждается в некоторой модификации.

Cвязана эта модификация с тем, что ускорение на самом деле является вектором. Оказывается, вектор ускорения показывает направление изменения скорости тела. Что это означает, мы сейчас выясним на простых примерах.

Пусть тело движется вдоль оси X. Давайте рассмотрим два случая направления ускорения: по оси X и против оси X соответственно.

1. Вектор ускорения ~a сонаправлен с осью X (рис. 18 ). Проекция ускорения на ось X положительна: ax > 0.

Рис. 18. ax > 0

В данном случае скорость изменяется в положительном направлении оси X. А именно:

Если тело движется вправо (vx > 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Проекция скорости vx при этом также увеличивается.

Если тело движется влево (vx < 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом увеличивается.

Таким образом, если ax > 0, то проекция скорости vx возрастает вне зависимости от того,

в каком направлении движется тело.

2. Вектор ускорения ~a направлен противоположно оси X (рис. 19 ). Проекция ускорения на ось X отрицательна: ax < 0.

Рис. 19. ax < 0

В данном случае скорость изменяется в отрицательном направлении оси X. А именно:

Если тело движется вправо (vx > 0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Проекция скорости vx при этом также уменьшается.

Если тело движется влево (vx < 0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости vx , будучи отрицательной, при этом уменьшается.

Таким образом, если ax < 0, то проекция скорости vx убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.

Обнаруженная в этих примерах связь знака проекции ускорения ax с возрастанием (убыванием) проекции скорости vx приводит нас к нужной модификации формулы (34 ):

Пример. Ещё раз вернёмся к примеру (26 ):

x = 1 + 12t 3t2

(координата измеряется в метрах, время в секундах). Последовательно дифференцируя два раза, получаем:

vx = x = 12 6t;

ax = vx = 6:

Как видим, ускорение постоянно по модулю и равно 6 м/с2 . Направлено ускорение в сторону, противоположную оси X.

Приведённый пример есть случай равноускоренного движения, при котором модуль и направление ускорения неизменны (или, короче говоря, ~a = const). Равноускоренное движение один из важнейших и часто встречающихся видов движения в механике.

Из данного примера нетрудно понять, что при равноускоренном движении проекция скорости является линейной функцией времени, а координата квадратичной функцией.

Пример. Рассмотрим более экзотический случай:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 .