Построение теней в перспективе здания. Естественный источник освещения располагается перед наблюдателем. Построение теней от солнца, расположенного слева в нейтральной плоскости

Построение перспективы и тени в перспективе

План

1. Перспектива геометрических тел.

2. Выбор точки зрения при построении перспективного изображения.

3. Построение перспективного изображения здания .

4. Тени в перспективе..

1. ПЕРСПЕКТИВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Построение перспективного изображения куба (рис.99). Картинную плоскость проводим че­рез ребро куба ВМ, в этом случае оно будет проецироваться на картинной плоскости в натуральный размер. За­дадимся положением линии горизонта и произведем все построения ана­логично предыдущим (рис. 99). Точки схода прямых АВ, CD , AD и СВ определяются ранее рассмотренным способом.

Перенос точек с основания кар­тинной плоскости на картину произ­водится как и в предыдущих при­мерах.

На картине из точки В-М восстав­ляем перпендикуляр, на котором от­кладываем натуральную длину ребра куба ВМ. Крайние точки ребра сое­диняем с точками схода F 1 и F 2 , а из точек A к = Е k и С к = G K восставляем перпендикуляр до пересечения с ли­ниями, представляющими полные перспективы прямых, идущих от реб­ра ВМ к точкам схода. Таким обра­зом, получим перспективное изобра­жение ребер АЕ и CG . Чтобы полу­чить изображение ребра DK , надо из крайних ребер точек АЕ и CG про­вести прямые в точки схода F 1 и F 2 . На пересечении этих линий получим точки ребра DK .

Если вторая точка схода лежит вне пределов чертежа, например точ­ка F 2 , то можно построить перспекти­ву и с одной точкой схода F 1 . Для этого продолжим горизонтальную проекцию D l A l до пересечения с картинной плоскостью в точке N 1 , Точку N 1 перенесем на картину и из нее восставим перпендикуляр, на ко­тором отложим натуральную высоту куба. Соединяя полученные точки с правой точкой схода F 2 , получим пер­спективное изображение ребер куба АЕ и DK как результат пересечения прямых N l F 2 с перпендикулярами АЕ и DK , восставленными с картинной плоскости.

Так же можно построить изобра­жение куба, если использовать пря­мые, перпендикулярные картинной плоскости, проведенные через верши­ны куба. На рис. 99, б показано построение перспективы двух ребер АЕ и CG . В этом случае главный луч зрения направляют так. чтобы он не совпадал с ребром KD .

Перспективное изображение может быть построено с увеличением в не­сколько раз. например в 2 или 4 и т д. Для этого все размеры как по верти­кали, так и по горизонтали увеличи­вают при переносе всех точек на кар­тину. На рис.100 дан пример по­строения перспективного изображения двух геометриче­ских тел, куба и параллеле­пипеда, расположенных на одном уровне. Картинная пло­скость проведена так. чтобы два реб­ра (одно у куба, другое у параллеле­пипеда) проецировались на картин­ной плоскости без искажения, т. е. картинная плоскость проведена через ребро 4 параллелепипеда и ребро А куба. Линия горизонта проведена так, чтобы у куба было видно верхнее основание, а у параллелепипеда верх­нее основание будет невидимым.

Зрителя располагаем так, чтобы главный луч зрения был перпендику­лярен картинной плоскости (картине) и главная точка Р находилась в сред­ней трети картины.

Через все точки фигуры проводим лучи в точку зрения и находим левую и правую точки схода. Затем след картинной плоскости вместе со всеми точками переносим на то место, где будет строиться перспективное изоб­ражение.

На картине вначале находим на­туральные ребра 4 и А и от них проводим линии в точки схода. Про­ведя из точек 1 к , 2 К , 3 к , D K , С к и В к вертикальные прямые линии, нахо­дим перспективное изображение каж­дой точки. Соединяя их между собой, получим перспективное изображение заданных объемов.

2. ВЫБОР ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ПЕРСПЕКТИВНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ

Чтобы изображение в перспективе хорошо смотрелось, надо учитывать естественный угол зрения человека, поэтому относительное расположение объекта, картины и точки зрения не может быть произвольным.

При выборе точки зрения рекомен­дуется придерживаться следующих положений:

Главный луч зрения должен быть направлен перпендикулярно картин­ной плоскости и делить картину при­мерно пополам или находиться в средней трети картины. Картиной на­зывается то. что будет заключено между крайними лучами, идущими от зрителя к предмету;

Желательно соблюдать соотноше­ние АВ/ВС = A k B k / B k C k (рис.101);

Угол между основанием картины и сооружением должен составлять 20 е …40°;

Зритель должен находиться на та­ком расстоянии от предмета, чтобы предмет был включен в конус ясного зрения или был бы в поле ясного зрения. Для этого угол между край­ними лучами зрения должен быть в пределах 28°.. .37° (рис. 102);

В том случае, когда у соору­же­ния вертикальные разме­ры больше гори­зон­таль­ных, зрите­лю следует отойти на полторы-две высоты от сооруже­ния для того, чтобы угол зрения в вертикальной плоскости оказал­ся в допускаемых границах (рис. 103);

По расположению картин­ной пло­скости относительно объек­та перспек­тивы могут быть двух видов: цен­тральная фронтальная перспектива применяется для построения интерье­ров, т. е. перспективы внутреннего вида помещений (рис. 104); угловая перспектива (рис.105) применяется при изображении отдельных объек­тов, в этом случае картинная пло­скость располагается под углом к объекту.

По расположению линии горизонта перспективные изобра­же­­ния могут быть (см. рис. 105, а ): с нормальной высотой горизонта, т. е. на высоте человеческого роста 1,5... 1,7 м, при­меняется при построении перспективы на ровном месте (рис. 105, б ); при виде снизу применяется для отдель­ных деталей, наблюдаемых снизу, и для зданий, стоящих на возвышении (рис. 105, в ): с высоким горизонтом, при этом высоту горизонта берут до 100 м и выше (рис. 105, г ).

По расстоянию точки зрения от предмета перспективы могут быть разделены на перспективы с острым, резким ракурсом и перспективы с ту­пым, пологим ракурсом. Ракурсом называется поло­же­ние изображаемо­го предмета относительно картинной плос­кос­ти, при котором получается резкое укорочение удаленных от перед­него плана частей. Мери­лом ракурса является отношение перспективного изображения ре­бер ВВ 0 на переднем плане (см. рис.106, а и б) к ребру А 1 А 0 наиболее удаленного ребра той же грани ВВ 0 /А"А 0 .

При выборе точки зрения необхо­димым условием является реальное расположение точки зрения, т.е. наи­лучшее. Выбирая точку зрения, мож­но использовать такую схему (рис.107). Намечая точки стояния, мыс­ленно представить, как будет выглядеть здание. Например, точка 1 (см. рис. 106, 107) показывает вид зда­ния сбоку. Основная часть фасада скрыта, точка 2 хорошо раскрывает основной фасад, но не видны боковые стороны; точка 3 дает вид на оба фасада, то так как перспективный ра­курс для обоих фасадов одинаков, пер­спектива здания оказалась невырази­тельной; точку 4 можно считать наибо­лее удачной, так как с этой точки зрения композиция здания раскрывается наилучшим образом.

3. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРСПЕКТИВНОГО

ИЗОБРАЖЕНИЯ ЗДАНИЯ

Перспектива любого здания (соору­жения) складывается из перспективы множества точек, каждая из которых строится как след луча зрения на кар­тинной плоскости. Существует несколь­ко способов построения перспектив. К основным способам построения перспективы относятся:

1. способ архитекторов, основанный на использовании точек схода параллельных прямых;

2. способ прямоугольных координат и перспективной сетки;

3. радиальный способ и способ совмещенных высот.

В каждом из этих способов построения перспективы используются различные елементы центрального проецирования. Выбор того или иного способа построений зависит от вида объекта и его объемно-пространствнной структуры.

Способ архитекторов основан на использовании точек схода перспектив горизонтальных параллельных прямых объектов и на практике используется для построения архитектурных перспектив.

Сущность радиального способа построения перспективы заключается в определении точек пересечения проецирующих лучей с картинной плоскостью. Этот способ находит применение главным образом при построении фронтальных перспектив улиц, внутренних дворов, фасадов зданий с выступающими вперед частями.

Сущность координатного метода заключается в построении перспективы объекта, отнесенного к прямоугольной системе координат. Координатный способ используется при изображении несложных объектов неправильной формы.

Способ перспективной сетки как разновидность координатного способа применяют при построении «планировочных» перспектив с высоким горизонтом при проектировании градостроительных и промышленных объектов, расположенных на значительной территории.

Мы рассмотрим один из них – метод архитектора. Этот способ сво­дится к определению проекций точек сооружения на картинную плоскость лучами, идущими из точек зрения к каждой точке сооружения.

При построении перспективы ме­тодом архитектора картинную пло­скость располагают под углом к зда­нию и проводят след ее через один из углов (рис.109).

Зрителя устанавли­вают так, чтобы главный луч зре­ния был перпендику­лярен картин­ной плоскости, а сам зритель находился бы на таком рас­стоянии, чтобы угол зрения , опре­деля­емый крайними лучами зре­ния S { и S 5 , был равен 23°...37". Главный луч зре­ния SP должен делить карти­ну приблизительно попо­лам, чтобы точ­ка Р на­хо­ди­лась в средней трети кар­тины.

Точки схода для ос­нов­ных направ­лений плана най­­дутся, если провести пря­мые из точки стояния S 1 па­рал­лельно сторонам со­ору­ж­ения до пере сечения с картинной плоскостью в точках F 1 и F 2 .

Точка схода F 1 (левая) будет яв­ляться точкой схода для всех прямых, параллельных сторонам 1-2, 3-4. 5-6, 8-9, а точка схода F 2 (правая) – для параллельных сторон 1-7, 11-10, 2-3, 4-5 и им параллельных.

После установки зрителя, картин­ной плоскости и нахождения точек схода проводятся лучи зрения из всех точек сооружения и на следе картин­ной плоскости КК фиксируются все точки пересечения 1 к.. .6 К и т.д.

Для построения самой перспективы переносим след картинной плоскости со всеми нанесенными на нем точками на то место, где будет строиться перспектива (рис.110).

Линию горизонта проводим па­раллельно основанию картинной пло­с­кос­ти КК на заданной высоте и на нее переносим точки схода с основа­ния картинной плоскости.

Так как картинная плоскость про­ведена через ребро 4, то оно в пер­спективе будет в натуральную длину. Из точки 4 к восставляем нерпендикуляр к следу картинной плоскости и на нем откладываем высоту ребра 4, взя­тую с фронтальной проекции ортого­нального чертежа.

Нижнюю и верхнюю точки ребра 4 соединяем с точками схода F 1 и F 2 . получая направление сторон здания. Восставляя перпендикуляры из точек 3к и 5 к до пересечения с лучами, иду­щими в точки схода, получим сторо­ны здания. Таким же образом нахо­дим все ребра и стороны сооружения в перспективе.

Для получения точек 8, 9, 10 к 11 в перспективе продолжим линии конька 11-10 (см. рис. 109) до пересечения с картинной плоскостью К К в точке N 1  , а линию 8-9 до пересечения в точке N и переносим эти точки в перспективу. Из полученных точек восставляем перпендикуляры, на ко­торых откладываем высоты от земли до конька.

Соединяя точки N 1 и N 2 с точками схода и пересекая полученные линии перпендикулярными прямыми, вос­ставленными из точек 11 к , 10 к 8 к и 9 К , получим перспективное изображение прямых 11-10 и 8-9, принадлежащих конькам кровли. Найденные точки соединяем, согласно ортогональному чертежу, с соответствующими точка­ми, получая перспективное изображе­ние кровли.

Чтобы сооружение не казалось ви­сящим в воздухе, необходимо около него начертить тротуар, дорогу и т.п., соблюдая при этом, чтобы все проведенные линии были направлены в точки схода.

4. ТЕНИ В ПЕРСПЕКТИВЕ

Так же как и в аксонометрии, тени в перспективе могут быть построены с различных точек расположения источника света.

На рис. 111 показаны восемь возможных расположений источников света относительно по­ло­же­ния точки зрения и двух вертикальных стерж­ней, от которых падает тень на горизон­таль­ную плоскость. Здесь те­ни от вершины стержней, т. е. от то­чек А и В, найдены как горизонталь­ные следы лу­чей света, прохо­дя­щие через данные точк­и. Из рассмотрен­ных примеров видно, что тени от вертикальных прямых падают по на­правлению точки схода на горизонте, а длина тени определяется пе­ре­сече­нием луча света, проходящего через верх­ний конец прямой в точку схода лучей, с по­верх­ностью, на ко­то­рую падает тень.

Направление лучей света может быть выбрано в зависимости от ха­рактера изображаемого объекта и от желания показать его освещенным с той или другой стороны. При этом следует руководствоваться эстетиче­скими соображениями, так как по­строение теней на проекте не является самоцелью, а всего лишь средством для выявления форм и пропорций.

В тех случаях, когда сооружение состоит из арок и колоннад, хорошо применять так называемые приходя­щие тени. В этом случае лучи света, проникающие сквозь проемы, соз­дают эффектную игру светотени.

Теперь определим расстояние d , на которое будет удалена на картине точка схода лучей света в пространстве F 4 от точки схода горизонталь­ных проекций лучей F 3 . Для этого предположим, что солнце расположе­но сзади и слева от зрителя, а лучи направлены вниз направо, составляя угол а = 35 ; 54". (В точке S строим угол а и находим катет d прямоугольного треугольника SF 3 F 4 , который и является искомой величиной, и его следует отложить на картине по вертикали вниз от точки F 3 горизонта. Все остальные построе­ния по нахождению теней ясны из чертежа. Для построения тени от здания, име­ющего выступ, мож­но рекомен­до­вать сле­­ду­ющий при­ем для выбора направ­ления лучей света. Рассмотрим по­стро­ение (рис.112). К уг­лу 4 выступа здания прикладываем линейку KN так, чтобы падающая от выступа тень на фа­сад 5-6 была или не­много меньше или немного больше пер­спек­тивного размера выступа 4-5. и, про­ве­дя по ребру линей­ки проек­цию луча света в плане, отыскиваем точку F 3 на оси ОХ как проекцию точки схода горизонтальных проек­ций лучей света (S l F 3 \\ KN ).

Рассмотрим построение падающих теней на ступенях лестницы от боковой стенки (рис.113). При построении теней в перспективе от здания обычно берут направление лучей, параллельное кар­тинной плоскости, в этом случае лучи и тени от вертикальных прямых бу­дут параллельными, последнее облег­чает построение теней на чертеже.

Для построения падающей тени от боковой стенки лестницы на ступенях использован прием продолжения реб­ра, от которого строится тень (в дан­ном случае ребро А В), до пересечения с той гранью, на которую строится падающая тень.

Вначале строим тень от верти­кальной прямой A 0 A 1 . для этого из основания А 0 проводим проекцию луча S 0 до подступенка первой ступе­ни, у основания которого тень пере­ломится и. как от вертикали, на вер­тикальной плоскости пойдет вверх до проступи. Дойдя до второго подсту­пенка, луч опять переломится и по вертикали поднимается на вторую ступень, далее по проступи луч пой­дет в направлении проекции луча S 0 до встречи с лучом S в точке К.

Теперь строим тень от наклонной А В, для этого продолжаем прямую А 1 В" до пересечения с прямой В 1 С 1 . принадлежащей верхней площадке Р. Тень от прямой А  В 1 в точке 1 будет равна нулю, а прямая 1-В р даст тень на площадке Р от В до точки 4. Чтобы найти тень на проступи N , продолжаем А 1 В 1 до точки 2, лежа­щей в плоскости N . и отыскиваем в этой же плоскости тень от точки В 1 – это будет точка В N . При соединении точек 2 и B N прямая пересечет под­ступенок N в точках 5 и 6. Точка 7 на проступи М получается аналогично. Тень на подступенках II и III получит­ся от соединения точек 7 с 6 и 5 с 4.

Тень от прямой В 1 С 1 , так от гори­зонтальной прямой на горизонталь­ную плоскость ляжет по направлению луча, идущего в ту же точку схода, что и от точки В р до вертикальной стены, откуда тень пойдет в точку С 1 . Остальные построения ясны из чер­тежа.

На рис.114 дан пример построе­ния падающих теней лучами, парал­лельными картинной плоскости.

Изображение теней придает перспективе дополнительную выразительность и объемность. Направление световых лучей в отличие от комплексного чертежа может быть произвольным. При этом возможны три случая расположения параллельных световых лучей, идущих от солнца: лучи направлены от наблюдателя к объекту, лучи направлены от объекта к наблюдателю, лучи параллельны картинной плоскости (фронтальное положение лучей). При этом угол наклона лучей может быть произвольным в каждом из этих случаев. Для построения теней в перспективе необходимо знать перспективную проекцию луча, а также его вторичную перспективную проекцию. На рис.8.1 – 8.3 показано построение теней на предметную плоскость от горизонтального отрезка в каждом из вышеперечисленных случаев. Параллельные лучи будут иметь общую точку схода. Точка схода вторичных проекций лучей F 1 т находится на линии горизонта. Точка схода перспективной проекции лучей F т в первом случае находится ниже линии горизонта (рис.8.1), во втором случае (рис.8.2) – выше линии горизонта, в третьем случае (рис.8.3) – точка схода отсутствует. Перспективная проекция тени A т от точки A находится в пересечении вторичной проекции светового луча, направленного из вторичной проекции точки A 1 / в точку схода F 1 т , с перспективной проекцией светового луча, направленного из точки A / в точку схода F т . Аналогичным образом строится тень от точки B , что позволяет построить тень от отрезка по двум точкам.

Тень от горизонтальной прямой AB на горизонтальную плоскость также является горизонтальной прямой A т B т , которая параллельна исходному отрезку AB , и следовательно, имеет ту же точку схода F . Тень от вертикальной прямой на горизонтальную плоскость совпадает с направлением вторичной проекции светового луча (рис.8.4).

На практике чаще всего используется первый случай направления световых лучей, т.к. большая часть объекта в этом случае освещена и перспектива выглядит наиболее выразительно.

Из всех способов построения теней, известных по теням на комплексном чертеже, в перспективе используются только два: способ лучевых сечений и способ обратных лучей. Остальные способы не используются, т.к. приводят к сложным построениям.

Последовательность построения теней такая же, как и на комплексном чертеже: выявляется контур собственной тени, затем строится падающая тень от контура собственной тени каждого геометрического образа на предметную плоскость (на комплексном чертеже на стену), затем падающие тени от одного геометрического образа на другой.

На рис.8.5 показано построение теней на примере двух параллелепипедов. От контура собственной тени 1 / - 2 / - 3 / - 1 1 / - 2 1 / - 3 1 / малого параллелепипеда построена тень на предметную плоскость как от вертикальных и горизонтальных прямых. Затем построена тень от контура собственной тени 4 / - 5 / - 6 / - 4 1 / - 5 1 / - 6 1 / большого параллелепипеда на предметную плоскость. Контуром падающей тени обоих параллелепипедов является огибающий контур обеих теней. Кроме того, тень от большого параллелепипеда падает на верхнюю горизонтальную и переднюю вертикальную грани малого параллелепипеда. Для этого строятся лучевые сечения малого параллелепипеда, полученные от пересечения лучевых плоскостей, проведенных через контур собственных теней большого параллелепипеда. Такая лучевая плоскость проведена через ребро 4 / - 4 1 / большого параллелепипеда, и она пересекла малый параллелепипед по сечению, которое является контуром падающей. Другие участки собственной тени большого параллелепипеда дают тени только на предметную плоскость. На рис.8.6 построены тени от тех же параллелепипедов при фронтальном положении лучей.

Лекция 24 Построение теней в интерьере Положение источника света Построение теней геометрических тел Метод обратного луча Метод лучевых сечений

Построение теней в интерьере представляет собой довольно сложную задачу. Это объясняется, во-первых, наличием различных источников освещения- солнечного, рассеянного и искусственного света и, во-вторых, в условиях освещения искусственными источниками света большое их число, разнообразие форм и расположения в современном интерьере делают задачу точного построения контуров теней довольно сложной.

Три случая построения контуров теней В зависимости от вида источников освещения интерьера возможны три случая построения контуров теней: При солнечном освещении, проникающем через оконные проемы; При точечных источниках света; При рассеянном (диффузном) дневном освещении

Построение теней при солнечном освещении Задача 4. 2 стр. 34: Построить солнечное пятно от контура оконного проема прямоугольной формы (толщина стен задана и учитывается при построении) Солнце находится перед зрителем

Последовательность построений: 1. Строим падающую тень от внутреннего контура проема: от вертикальных ребер 1 и 2 тени падают по проекции луча, от горизонтальных ребер 2 -1 – параллельно. 2°

2. Строим падающую тень от внешнего проема (от вертикальных ребер 4 и 3 - по проекции луча; от горизонтальных ребер 4 -3 параллельно. получим накладки тенейточки 5 о и 6 о Тень от ребра 4 -3 (4 о-3 о) накладывается на тень от ребра 1 -1 в точке 6 о. 2° ° °

3. Обратным лучом вернем точку 5 о на горизонтальное ребро 2 -1 подоконника. Возвращаем (.)6 о на вертикальное ребро 1 -1 ° ° 2° ° °

4. Ребро 4 -3 упирается в правый боковой простенок в точке 3 - тень замыкается. Тень на подоконник от ребра 4 -4 падает по направлению вторичной проекции луча. ° ° 2° Солнечный «зайчик» ° °

Построение теней при солнечном освещении Солнечный свет, проникающий через оконный проем прямоугольной формы образует на полу четкий и контрастный четырехугольник.

Построение теней при точечном источнике света При точечном источнике света лучевые прямые не параллельны между собой и и не имеют точек схода, они пересекаются в «светящейся» точкеисточнике света Падающие тени строят при помощи вторичной проекции светового луча

Задача 4. 4 стр. 36: На картине задана вертикальная плоскость. Требуется построить тень от пластины при точечном источнике света

Если взять еще один источник света - S*, то произойдет наложение падающих теней. S* ° Во ° ° S 1* ° Ао

Итоговая падающая тень определяется по общему контуру. Тень в месте накладки будет темнее S* ° Во ° ° S 1* ° Ао

Задача 4. 5 стр. 36: На картине задана вертикальная пластина и опирающийся на её верхний край стержень. Требуется построить тень от пластины и стержня при точечном источнике света

Решение: 1. Построим тень от наклонной прямой: Проведем световой луч через (.)S‘ и (.)А‘, и вторичную проекцию луча S‘ 1 и А‘ 1 и найдем их пересечение. Ао‘

Т. к. прямая АС упирается в плоскость пола, тень в точке упора в ней самой С‘= С 1‘= Со‘ Соединив точки Со‘ и Ао ‘ получим тень от прямой на пол

2. В точке В стержень опирается на пластину- тень замыкается 3. Строим тень от пластины

Задача 4. 6 стр. 37: На картине заданы перспектива призмы и опирающийся на её верхний край стержень. Требуется построить тень от призмы и стержня при точечном источнике света

2. Определяем собственные тени на призме. Строим падающую тень от призмы 2 1 21 11 1 о 2 о

3. Для определения тени от наклонной прямой АВ на верхнюю плоскость призмы можно использовать: а) метод обратного луча: возвращаем точку накладки теней от прямой АВ на тень от ребра 2 -3 (Мо) на ребро 2 -3 3 м мо 1 11 2 21 1 о 2 о

Задача 4. 7 стр. 37: на картине задана треугольная призма и прямой круговой конус. Требуется построить от них тень при точечном источнике света

Решение: 1) Для построения тени от конуса находим тень от его вершины (.)T‘ -То‘

2) Определяем падающую тень: проводим касательные из (.)То‘ к основанию конуса, затем определяем собственную тень. 3) Методом лучевого сечения определяем тень от вершины конуса на наклонную плоскость крыши

Второй вариант построения тени от конуса на призму: методом обратного луча (возвращаем точки 1 о и 2 о накладки теней от ребра В и конуса на ребро В‘) °° ° °

При построении теней в перспективе интерьера следует построить сначала проекции источника света на те ограждающие плоскости интерьера, на которые надо будет строить тени: пол, потолок, стены

Задача 4. 8. стр. 38: Построить проекции точечного источника света на вертикальные плоскости стен и пол в заданной фронтальной перспективе интерьера

Решение: 1) Определяем проекции лампочки S на стены, пол и потолок (через источник света проводим к данным плоскостям перпендикуляры из (.)S. Т. к. фронтальная перспектива интерьера - плоскость, перпендикулярная к боковым стенам, полу и потолку параллельна картине).

Пример: Источник света L. Вертикальная прямая Вв перпендикулярна полу, следовательно тень падает по проекции луча на пол до стены и вертикально по стене. °

L 1“ – проекция лампочки на левую боковую стену. С ее помощью строим тень от прямой а “А. °

L‘- проекция на торцевую стену- т. к. боковые стены перпендикулярны к торцевой, тень от горизонтальных прямых проемов падает по проекции луча на торцевую стену, проведенной через L‘ Точка упора в торцевую плоскость ° ° Точка упора в торцевую плоскость

Задача 4. 9 стр. 38 б): Построить тени от мебели при точечном источнике света на фронтальной перспективе интерьера

От вертикальной прямой 1 -11 тень падает по проекции луча, От горизонтального ребра ступени- параллельно и замыкается в точку упора Точка упора

Определяем проекции светящейся точки S на плоскости ступеней (S 2, S 3, S 4). Для этого через источник света проведем плоскость, параллельную картине и определим высоту ступеней на заданной глубине

Определяем освещение ступеней и строим собственные тени. Вертикальная плоскость третьей ступени находится с точкой S в одной плоскости (скользящий луч). Вертикальная плоскость четвертой ступени освещена. С помощью (.) S 2 строим падающую тень от вертикального ребра 2 -21

От прямой N-M на заднюю торцовую стенку тень параллельна, затем замыкается в точку упора М≡Мо. Строим падающую тень от шкафа, используя его вторичную проекцию на полу. Находим тень от ребра 1 -2 (1 о-2 о)

Ребро 1 -3 параллельно стене, следовательно тень от него на стену падает параллельно, т. е. строим с помощью (.)Р 4

Горизонтальное ребро 2 -4 также параллельно плоскости стены. Строим тень 2 о-4 о с помощью точки Р. Далее тень замыкается в точку упора прямой 4 -5 в стену. Точка упора

Для построения тени от вертикальной прямой А определяем проекцию источника света на подиум (Sп) с помощью произвольной вертикальной плоскости (точка F - берется произвольно)

Тень от прямой на подиум падает по направлению проекции луча, на вертикальную стену- параллельно прямой

Задача 4. 9 стр. 39 в): Построить тени от мебели при точечном источнике света на фронтальной перспективе интерьера

Определяем тени от точек А и В (Ао 1 на полу, Во 2 на стене)

Определяем излом, построив тень от (.)L и замыкание тени на правой стене С=Со Точка упора

Определяем падающие тени от колонн на стену и по потолку (замыкаются в точку S≡Sп); для построения тени на балконе находим проекцию лампочки на уровень пола балкона Sb ≡Sп ° Sb

Для построения падающей тени от балкона на колонны проводим мнимую касательную плоскость к колоннам и определяем линии касания на колоннах Мнимая плоскость, касательная к колоннам

Проводим тень от горизонтального ребра, проходящего через (.)А на мнимой плоскости с помощью (.)Р

На пересечении данной тени от ребра «А» с касательными на колоннах фиксируем точки реально существующей тени (пиковые точки)

Находим накладку теней от колонн и балкона - точки 1 о и 2 о и методом обратного луча возвращаем их на контур собственной тени колонн - точки 1 и 2 ° 2 1 ° ° 1 о ° 2 о

Задача 4. 10 стр. 40: Построить проекции источника света на две вертикальные плоскости стен, пол и потолок в угловой перспективе интерьера

Угловая перспектива интерьера. Метод совмещения предметной плоскости с картиной Решение: Рассмотрим первый вариант – помещение имеет в плане угол 90° С-источник света на плане помещения. Проведем через (.)С прямые, параллельные стенам помещения и определим (.)1 и 2 картинные следы этих прямых 1 2

Построение проекций источника света в угловом интерьере Строим перспективные проекции источника света С с помощью прямых, параллельных сторонам плана: Строим перспективы этих прямых Пересечение перспектив прямых дает (.)Сп - проекцию (.)С на полу определяем ближайшие точки 1 и 2 в картине на потолке

Построение проекций источника света в угловом интерьере Строим перспективы прямых Пересечение перспектив прямых дает (.)Сп - проекцию (.)С на потолке На произвольном расстоянии «подвешиваем» источник света С Сп ° ° С

Построение проекций источника света в угловом интерьере Для построения проекции (.)С на стену П 2 , надо провести к ней перпендикуляр. Т. к. угол между стенами в плане =90°, перспектива прямой, перпендикулярной к стене строится с помощью (.) F 1 определяем (.)С 2

Построение проекций источника света в угловом интерьере Аналогично определяем проекцию лампочки на правую боковую стену С 3 (с помощью (.) F 2.) ° С 3

Вар. 2: Построение проекций источника света, если угол между стенами на плане помещения α≠ 90° Перспективную проекцию (.)С можно построить с помощью прямых, параллельных стенам помещения, т. е. с использованием точек схода F 1 и F 2 Для определения проекций источника света проведем через (.)С прямые m и n, перпендикулярные стенам помещения

Построение проекций источника света при угле между стенами α≠ 90° на плане помещения Определим точки схода прямых m и n , для чего через совмещенную точку зрения с картиной (.)S‘ проведем прямые параллельные m и n и найдем их пересечение с линией горизонта (Fm и Fn соответственно)

Построение проекций источника света при угле между стенами α≠ 90° на плане помещения Находим с помощью точки схода Fm проекцию С 2 точки С на боковую плоскость

Построение проекций источника света при угле между стенами α≠ 90° на плане помещения Аналогично определяем проекцию С 3 точки С на правую боковую плоскость с помощью точки Fn

Построение проекций источника света при угле между стенами α≠ 90° на плане помещения Т. о. построены плоскости, проходящие через источник света (.)С и перпендикулярные к боковым стенам для определения проекций светильника на боковые стены

Задача 4. 11 стр. 41: Построить тени от точечного источника света в Заданной угловой перспективе интерьера

Решение: 1. Внуртренняя перегородка в шкафу находится в собственной Тени. Строим от нее падающую тень с помощью проекции на полу

Определяем тени от точек 1, 2, 3. От (.)1 попала на стену, от (.)2 и 3 на полки
Построение теней при рассеянном освещении При диффузном, рассеянном свете, проникающем через оконный проем, излучение света происходит по всей площади проема. Контуры теней как бы накладываются один на другой, их границы оказываются все более «размытыми» по мере удаления от светового проема. Плоскости откосов освещены, поэтому вертикальные и горизонтальные ребра откосов проема, обращенные внутрь помещения, являются тенеобразующими.

Построение теней при рассеянном освещении Из множества «светящихся» точек в проеме выделяют точки, расположенные в углах проема(1, 2, 4, 5). С помощью точек 1, 2 и 3 строят падающие тени на полу, а с помощью точек 4 и 5 - на потолке. Для построения теней необходимо спроецировать эти точки на те плоскости помещения, на которые должны быть построены тени: на пол (точки 1, 2), на потолок(точки 4 и 5) и боковую стену (5"). Затем проводят из «светящихся» точек перспективы лучевых прямых через тенеобразующие точки объекта до пересечения с вторичными проекциями этих лучей

Построение теней при рассеянном освещении Например, возьмем «светящуюся» точку 1, расположенную в верхнем углу проема. Для построения тени от (.)А необходимо через неё провести световой луч и найти его пересечение с проекцией луча на полу. 1° ° 11

Затем строим тени от АВ и от ВС ° 1 ° ° 11 Со ° Ао Во

Возьмем «светящуюся» точку 2, расположенную в левом верхнем углу проема. Построим тени от точек С и D и определим тень от прямой СD на правой стене. Завершим построение тени от ВС 2 ° Точка упора ° Со ° ° Ао Во

Ребро Ж внутренней части проема частично закрывает поток света. Найдем «светящуюся» точку 3, расположенную на верхнем ребре проема. Для этого соединим проекцию вертикального ребра Ж (Ж 1) с проекцией (.)А и продлим до пересечения с проекцией внешней стороны проема – (.)3¯ Ж ° Со ° ж 1 ° Ао Во

Построим тени от вертикального ребра ножки стола Е с помощью «светящейся» точки 3. Завершаем построение тени от горизонтального ребра стола, проходящего через точку Е ° Точка упора в боковую плоскость ° ° ° Ао Во Со

Построим тени от горизонтального ребра ЖГ проема с помощью «светящейся» точки 5 на потолке. ж г ° Точка упора в боковую плоскость стены ° ° Со ° Ао Во

Построим тень от вертикального ребра ГГ 4 проема с помощью «светящейся» точки 4. На потолке тень падает по проекции луча, на стене параллельно ребру Г). 44 ° Г 4 ж г ° Точка упора в боковую плоскость стены 4 ° Со ° Ао Во

Построим тень от горизонтального ребра проема с помощью «светящейся» точки 1. На пол тень падает параллельно ребру). ж г ° ° ° Со ° ° ° Ао Во ° °

Искусственный источник света, как и всякая точка в перспективе, определяется на картине как перспектива самой светящейся точки и перспектива основания (см. рис. 9.22 ).

Источник света можно располагать в любом месте относительно освещаемого объекта. Это зависит от того, как пожелает художник использовать свет в композиции картины.

Длина тени зависит от высоты светящейся точки и ее расстояния до освещаемого предмета. Тень не должна вылезать за линию горизонта и за О -О . Если она выше горизонта – это мнимая тень. Следовательно, надо правильно выбирать источник света.

Если предмет освещается несколькими источниками света, то падающие тени накладываются одна на другую. Место наложения двух падающих теней называется полнойтенью . Несовпадающие части падающих теней называются полутенями . Сначала строят собственную тень, потом полутени, затем полную тень, но не черную, так как она освещается отраженным светом.

Пример 1. Построить падающую тень от вертикали при двух заданных источниках света (рис. 9.27 ).

Решение

1. Определяем границу собственной тени. При заданном положении источников света границей собственной тени будут ребра В" К В К и Е" К Е К , т. е. в собственной тени будут грани А" К А К В" К В К и А" К А К Е" К Е К .

2. Строим падающие тени от граней А" К А К В" К В К и А" К А К Е" К Е К сначала от первого источника света, а затем от второго.

3. Определяем границу полной тени и полутеней.

Пример 3. Построить собственную и падающую тени от вертикального цилиндра. Положение источника освещения задано перспективой и перспективой основания (рис. 9.29 ).

Решение

1. Определяем зону собственной тени. Из точки С" К (перспективы основания источника) проводим касательные к нижнему основанию цилиндра. Образующие цилиндра, проведенные из точек касания 1 К и 6 К , ограничат зону собственной тени.

2. Построим падающую тень. Для этого дугу основания цилиндра в неосвещенной части разобьем на произвольное количество участков произвольной длины точками 2" К , 3" К и т. д.

3. Проведем через эти точки образующие и построим тени от этих образующих. Линия 1 Т -2 Т -3 Т -4 Т -5 Т -6 Т ограничит зону падающей тени.

Построение теней в интерьере

При изображении интерьеров чаще всего применяют искусственное освещение. Солнечное освещение в интерьере используют только в том случае, если есть большие световые проемы (террасы). Если окна имеют обычные размеры, то световым «зайчиком» можно пренебречь.

Правило построения теней

Чтобы найти тень от точки, надо через источник света и точку провести луч и найти точку пересечения этого луча с плоскостью, на которую падает тень. Для этого решают задачу на пересечение прямой с плоскостью. Через световой луч проводим вспомогательную проецирующую плоскость: если тень на полу, то плоскость – горизонтально-проецирующая, если на вертикальных стенках, – фронтально-проецирующая.

Пример 1. Построить тень от вертикальных прямых на пол и боковую стенку помещения при заданном положении светящейся точки (рис. 9.30 ).

Решение . В этом примере удобно провести горизонтально-проецирующие лучевые плоскости. Горизонтальный след этих плоскостей будет проходить через перспективу основания источника света и перспективу основания точек А и В . Точка пересечения следа плоскости со световым лучом и дает тень от точки А на пол. Такое построение называется методом парусов.

9.3.4. Построение теней от предметов на различные поверхности
при естественном и искусственном освещении

Пример 1. Построить падающую тень от балкона на вертикальной стене при естественном освещении (рис. 9.32 ).

Решение

1. Определяем зону собственной тени. В собственной тени при заданном источнике освещения окажутся правая боковая стена балкона и нижняя часть пола.

2. Построим падающие тени от контура собственных теней. Для этого из точек B K , G K и L K проведем световые лучи под углом 45° и определим точки пересечения этих лучей с вертикальной стеной дома.

Чтобы определить точки пересечения световых лучей с вертикальной стеной, определим перспективы основания всех точек балкона на предметной плоскости (точки A" K , M" K , L" K , E" K , J" K , B" K , G" K ).

Через перспективы основания точек B" K , G" K , L" K проведем перспективы основания световых лучей до пересечения с вертикальной стеной (точки 1 и 2 ). Из точек 1 и 2 восставим перпендикуляры до пересечения со световыми лучами, проведенными из точек B" K , G" K , L" K . Соединим полученные точки B" K , G" K , L" K . Это будут тени от ребер B K G K , G K L K . Соединив В Т с Е К , получим тень от ребра L K М K .

Пример 2. Построить падающую тень от вертикали АВ на предметную плоскость Н и на поверхность усеченной призмы (рис. 9.33 ).

Решение . Поскольку точка В вертикали принадлежит предметной плоскости, тень точки В совпадает с самой точкой В . Таким образом, решение задачи сводится к построению тени от точки А .

1. Через перспективу точки А (А К ) и перспективу источника (С К ) провести перспективу светового луча. Точка (А Т ) – гипотетическое место нахождения тени от точки А на предметной плоскости, если бы на пути световых лучей не находилось бы препятствие.

2. Через перспективу основания точки А (А" К ) и перспективу основания источника (С" К ) провести перспективу основания светового луча.

3. Построить линию пересечения горизонтально-проецирующей плоскости световых лучей (плоскости САВ , проходящей через вертикаль АВ и источник освещения С ) с поверхностью усеченной призмы – линия 1 К 1" К 2" К 2 К .

4. Тень от вертикали АВ будет идти от тени точки В на предметную плоскость (совпадающей с самой точкой В ), вдоль перспективы основания светового луча до пересечения с поверхностью призмы (точка 1" К ). Далее – вдоль линии пересечения плоскости световых лучей с поверхностью призмы. Граничной точкой тени (А Т ) будет точка пересечения линии 1 К 1" К 2" К 2 К с перспективой светового луча.

Библиографический список

1. Макарова, М. Н. Перспектива / М. Н. Макарова. – М.: Академический проект, 2006.

2. Ивашина, Г. Г. Перспектива / Г. Г. Ивашина. – СПб.: СПбГХПА, 2005.

3. Соловьев, С. А. Черчение и перспектива / С. А. Соловьев. – М.: Высшая школа, 1967.

4. Котрубенко, М. Е. Сборник задач по курсу «Начертательная геометрия и технический рисунок» / М. Е. Котрубенко, О. К. Лескова, Л. Н. Карагезян. – СПб.: ИПЦ СПГУТД, 2006.

Похожая информация.

В перспективном рисунке, композиции правильное выявление светотени усиливает передачу объемности предметов, глубину изображаемого пространства и потому является важнейшим средством получения реалистического изображения. Нужно помнить, что тени представляют собой не бессмысленные пятна, а рисунок, и поэтому их построение также подчинено правилам перспективы.

Знание правил и приемов построение перспектив теней при различных источниках света дает возможность художнику выбирать тот из них и того направления, которые наилучшим образом обеспечивают выявление главного как в рисунке с натуры, так и при работе над композицией.

Виды освещения.

Перспективы теней можно строить при двух видах освещения, отличающихся друг от друга различным удалением источника света от освещаемого предмета:

1. Источник света находиться на очень большом удалении (солнце, луна), и потому лучи, падающие на земную поверхность, считаются параллельными. Такое освещение называют параллельным или солнечным.

2. Источник света в виде светящейся точки (лампа, факел, костер) находится на небольшом расстоянии от предмета. Лучи исходят из одной точки. Такое освещение называют точечным или факельным.

Поскольку вид освещения влияет на форму и размер теней, а также имеет некоторые особенности в их построении, рассмотрим построение перспектив теней при солнечном и точечном освещении в отдельности.

Перспектива теней при естественном освещении. Освещенность изображаемого предмета, собственная тень, направление и размер падающей тени зависят от выбранного положения солнца. Последнее может быть задано направлением луча и его проекцией на предметную плоскость или падающей тенью от какого-либо нарисованного предмета.

Различают три возможных положения солнца - перед зрителем, сзади зрителя и в нейтральном пространстве.

Солнце перед зрителем. В этом случае солнечные лучи представляют собой восходящие прямые (рис.16). Их положение на картине определяется направлением перспективы луча, например AA* , и ее горизонтальной проекцией aA*. Точкой схода перспектив лучей является точка C - перспектива центра солнца, а точкой схода горизонтальных проекций лучей - c. Точка схода для горизонтальных проекций лучей всегда находиться на линии горизонта и является проекцией перспективы солнца на предметную плоскость. Поэтому точки лежат на одном перпендикуляре к линии горизонта; при этом точка - выше горизонта и обычно вне картины, так как изобразить яркость солнца не возможно.

Тень, падающая от предмета, направлена на зрителя. Сам предмет обращен к зрителю теневой стороной, если солнце прямо перед ним. Если же солнце спереди, но справа или слева, предмет обращен к зрителю линией раздела света и тени. При этом теневая часть, как правило, больше освещенной. Ее размеры зависят от формы предмета и его положения относительно картины.

Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18

Солнце сзади зрителя. Солнечные лучи представляют собой нисходящие параллельные прямые. Их положение на картине определяется направлением перспективы луча AA* и ее проекций aA* на горизонтальную плоскость (рис. 17). Продолжив перспективу горизонтальной проекции луча до линии горизонта, получим точку схода c для проекции лучей, которая принадлежит линии схода лучевой плоскости. Поэтому перпендикуляр к линии горизонта, опущенный из точки до встречи с продолжением луча AA* , даст положение точки схода C для перспектив лучей. Точка схода C является перспективой центра солнца, расположенного в мнимом пространстве.

Итак, если солнце сзади зрителя, точка схода для перспектив солнечных лучей находится ниже линии горизонта, а точка схода для их проекций - на линии горизонта. Предмет обращен к зрителю освещенной стороной, если солнце за спиной зрителя.

Если же солнце сзади, но, к тому же, справа и слева, то предмет обращен к зрителю линией раздела света и тени. Падающая тень удаляется от зрителя.

Таким образом, при положении солнца перед зрителем или сзади него источник освещения может быть задан точками схода для перспектив лучей и их проекций.

Солнце в нейтральном пространстве (сбоку). В этом случае перспективы параллельных лучей, наклоненные под определенным углом к предметной плоскости, на картине изображаются параллельными, а их проекции - параллельными основанию картины (линии горизонта), так как солнце находится в нейтральном пространстве (рис. 18).

Предмет обращен к зрителю линией раздела света и тени. Соотношение освещенной и теневой частей также зависит от формы предмета и его положения относительно картины. Падающая тень при положении солнца справа направлена влево, а при положении солнца слева - вправо.

Правила построения падающих теней от точек и прямых. Итак, установлено, что контур падающей тени есть тень от контура собственной тени. Но контур собственной тени представляет собой сочетание линий, различным образом расположенных относи-тельно плоскости, на которую падает тень. Поэтому рассмотрим основные правила построения падающих теней от прямых, перпендикулярных к плоскости, параллельных ей и наклоненных к ней.

1. Тень от прямой, перпендикулярной к плоскости, совпадает с проекцией перспективы луча на эту плоскость. Длина тени определяется точкой пересечения перспективы луча с ее проекцией. Поэтому для нахождения тени от отрезка АВ ,падающей на предметную плоскость (рис. 19), нужно через основание отрезка провести проекцию сB перспективы луча, а через вершину отрезка провести перспективу CA луча. Отрезок А*В и есть искомая падающая тень от вертикального отрезка АВ на предметную плоскость.

Рис.19 Рис. 20

2. Тень от точки на заданную плоскость есть точка пересечения перспективы луча, проведенного через эту точку, с его проекцией, проведенной через проекцию точки на данную плоскость. Чтобы найти тень от точки А на предметной плоскости (рис. 20), нужно задать проекцию а точки А на предметную плоскость, через точку а провести проекцию ca перспективы луча, а затем через точку А провести перспективу CA луча. Пересечение перспективы луча с ее проекцией в точке А* и есть падающая тень от точки А на предметную плоскость.

3. Тень от прямой, параллельной плоскости, параллельна самой прямой, т. е. имеет с ней одну общую точку схода. Поэтому, чтобы определить тень от горизонтального отрезка АВ, падающую на предметную плоскость (рис. 21), нужно найти тень от одной из точек отрезка, например от точки A , и затем из найденной точки А* провести направле-ние тени в точку схода F. Длина тени определится точкой пересечения прямых А*F и ВC в точке В*. Прямая А*В* ~ искомая тень от отрезка АВ.

Рис. 21 Рис.22 Рис.23

4. Тень от наклонной прямой проходит в точку встречи этой прямой с плоскостью. Чтобы определить падающую тень от наклонного отрезка АВ на предметную плоскость (рис. 22), нужно найти тень от точки A и из точки A * направить тень в точку B — точку встречи наклонной прямой с предметной плоскостью. Прямая А*В — тень от отрезка АВ на предметной плоскости.

5. Если наклонная прямая АВ не имеет точки встречи с плоскостью (рис. 23), для построения падающей тени следует сначала определить эту точку. Достаточно продолжить перспективу прямой до пересече-ния с продолжением ее проекции в точке С — точке встречи прямой с плоскостью. Затем нужно найти тень от точки A (или B) — точку A*, из точки A* направить тень в точку С — точку встречи прямой с плос-костью — и найти тень B* от точки B. Прямая А 0 В 0 и есть тень отрез-ка АВ, наклоненного к плоскости.

Общие положения построения перспектив теней при искусственном (точечном) освещении.

При точечном искусственном освещении характер освещенной по-верхности предмета и теней от него не такой, как при солнечном, так как здесь уже интенсивность освещения поверхности зависит не толь-ко от силы источника света, но и от его удаления от предмета. Чем ближе предмет к источнику освещения, тем сильнее освещенность его поверхности, и наоборот. Степень освещенности обратно пропорциональна квадрату расстояния между источником света и предметом. Так, если изображается группа людей в комнате, освещаемой свечой, то фигуры, удаленные в два раза дальше ближайшей, будут освещены слабее не в два, а в четыре раза.

При точечном искусственном освещении изменяются не только размеры теней, но и их характер. Самые темные тени видны на ближайших к источнику света предметах. В результате более слабого воздействия рефлексов контраст между собственной и падающей тенями менее заметен. Падающая тень по мере удаления ослабляется и переходит в тон неосвещенной поверхности.Знание этих закономерностей помогает художнику наилучшим образом использовать освещение для образного раскрытия основного замысла художественного произведения.

Для построения собственных и падающих теней художник должен установить положение источника света в пространстве, т. е. определить положение самой светящейся точки и ее проекции на ту плоскость, на которую падает тень.

Правила построения теней при точечном освещении те же, что и при солнечном освещении (рис. 24):

1). тень, падающая на плоскость от перпендикулярной к ней прямой , совпадает с проекцией луча на эту плоскость;

2). тень, падающая на плоскость от параллельной ей прямой, параллельна самой прямой, т. е. направлена в ту же точку схода Р

3). тень, падающая на плоскость от наклонной к ней прямой, направлена в точку встречи этой прямой с плоскостью.

Поверхность любого предмета имеет освещенную часть, на которую падают световые лучи, и неосвещенную, куда прямые световые лучи не попадают. Неосвещенная часть находится в тени, которая называется собственной тенью. Границу между освещенной и неосвещенной частями называют контуром собственной тени. Непрозрачное тело не пропускает световых лучей, поэтому предметы, расположенные за ним, оказываются неосвещенными, т.е. находится в падающей тени. Граница падающей тени, как правило, четко выражена и называется контуром падающей тени. Отметим, что, при рассеивающем свете и при нескольких источниках контур падающей тени расплывчат.

Таким образом, контур падающей тени есть тень от контура собственной тени. Поэтому построение теней предметов целесообразно начинать с построения контура собственной тени. Однако в некоторых случаях определить контур собственной тени бывает трудно. Тогда сначала находят контур падающей тени, а по нему - контур собственной тени.

Рис.25. Пример построения теней в перспективном изображении здания

Вопросы для самоконтроля:

1. Какие воды теней вы знаете?

2. Какова градация светотени?

3. Как строят тени на ортогональных чертежах?

4. Какие особенности имеет построение теней в аксонометрии?

5. Какие виды освещения бывают в перспективе?

6. Какие положения солнца используют при построении теней в перспективе?

Литература:

1. Анисимов Н.Н., Кузнецов Я.С, Кириллов А.Ф. Черчение и рисование. - М.: Стройиздат, 1983.

2. Брилинг Н.С. Черчение. - М. :Стройиздат, 1989.

3. Брилинг Н. С. Справочник по строительному черчению. -
М.: Стройиздат, I987.

4. Климухин А.Г. Начертательная геометрия.- М.: Стройиздат - 1978

5. Короев Ю.И. Начертательная геометрия. - М.: Стройиздат - 1987