Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. Осуществляется это таким образом:
1) если a i < b j то х ij = а i , и исключается поставщик с номером i ,
x im = 0, m = 1, 2, ..., n , m ≠j, b j ’=b j - a i
2) если a i > b j то х ij = b j , и исключается потребитель с номером j , x m j = 0, m= 1,2, ..., k, m≠i, a i ‘= a i - b j ,
3) если a i = b j то х ij = a i = b j , исключается либо поставщик i , x im = 0, m= 1,2, ..., n, m≠j, b j ’=0 , либо j -й потребитель, x m j = 0, m= 1,2, ..., k, m≠i, a i ‘= 0 .
Нулевые перевозки принято заносить в таблицу только тогда, когда они попадают в клетку (i, j) , подлежащую заполнению. Если в очередную клетку таблицы (i, j) требуется поставить перевозку, а i -й поставщик или j -й потребитель имеет нулевые запасы или запросы, то в клетку ставится перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого, как обычно, исключается из рассмотрения соответствующий поставщик или потребитель. Таким образом, в таблицу заносят только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.
Во избежание ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно k+ n- 1 и векторы-условия, соответствующие этим клеткам линейно независимы.
□ Теорема. Решение транспортной задачи, построенное методом северо-западного угла, является опорным.
Доказательство . Число занятых опорным решением клеток таблицы должно быть равно N = k+ n-1 . На каждом шаге построения решения по методу северо-западного угла заполняется одна клетка и исключается из рассмотрения одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель) таблицы задачи. Через k+ n– 2 шага в таблице будет занято k+ n– 2 клетки. В то же время останутся невычеркнуты-ми одна строка и один столбец, при этом незанятая клетка одна. При заполнении этой последней клетки число занятых клеток составит
k + n - 2 +1 = k + n– 1.
Проверим, что векторы, соответствующие занятым опорным решением клеткам, линейно независимы. Применим метод вычеркивания. Все занятые клетки можно вычеркнуть, если проделать это в порядке их заполнения. ■
Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное данным методом, может быть далеко от оптимального.
Пример . Составить начальное опорное решение, используя метод северо-западного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой представлены в следующей таблице
|
a i b j |
150 |
200 |
100 |
100 |
|
100 |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
250 |
4 |
5 |
8 |
3 |
|
200 |
2 |
3 |
6 |
7 |
Решение. Распределяем запасы 1 -го поставщика. Так как его запасы a 1 = 100 меньше запросов 1 -го потребителя b 1 = 150 , то в клетку (1, 1) записываем перевозку х 11 = 100 и исключаем из рассмотрения 1 -го поставщика. Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы 1-го потребителя b’ = b 1 - а 1 = 150 - 100 = 50 .
Распределяем запасы 2 -го поставщика. Так как его запасы а 2 = 250 больше оставшихся неудовлетворенными запросов 1 -го потребителя b 1 ’= 50 , то в клетку (2, 1) записываем перевозку х 21 = 50 и исключаем из рассмотрения 1 -го потребителя. Определяем оставшиеся запасы 2 -го поставщика а 2 = а 2 - b 1 ’ = 250 -50=200. Т.к. а 2 ‘= b 2 =200, то в клетку (2, 2) записываем х 22 = 200 и исключаем по своему усмотрению либо 2 -го поставщика, либо 2 -го потребителя. Пусть исключили 2- го поставщика. Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы 2 -го потребителя b 2 "= b 2 - а 2 " = 200 - 200 = 0 .
Распределяем запасы 3 -го поставщика. Так как а 3 > b 2 (200 > 0), то в клетку (3, 2) записываем х 32 = 0 и исключаем 2 -го потребителя. Запасы 3-го поставщика не изменились a 3 ’=a 3 -b 2 ’=200 - 0 = 200 . Сравниваем а 3 " и b 3 (200 > 100), в клетку (3, 3) записываем х 33 = 100 , исключаем 3 -го потребителя и вычисляем а 3 " = а 3 "-b 3 = 200 - 100 = 100 . Так как a 3 "" = b 4 , то в клетку (3, 4) записываем х 34 = 100 . Ввиду того, что задача с правильным балансом, запасы всех поставщиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью и одновременно.
Результаты построения опорного решения приведены в таблице:
|
|
150 |
200 |
100 |
100 |
|
100 |
100 |
|
|
|
|
250 |
50 |
200 |
|
|
|
200 |
|
0 |
100 |
100 |
Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток должно быть равно N = k +n - 1 = 3 + 4- 1=6 . В нашей таблице занято шесть клеток. Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является «вычеркиваемым»:
Следовательно, векторы-условия, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение является опорным.
Метод минимальной стоимости
Метод минимальной стоимости прост, он позволяет построить опорное решение, достаточно близкое к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи C={c ij }, i=1,2, ..., k, j=1,2, ..., n . Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости min {с ij} } , и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую min {с ij }, заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы использованы полностью. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик, еще не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда oт данного поставщика требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично с потребителем.□ Теорема . Решение транспортной задачи, построенное методом минимальной стоимости, является опорным. ■
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Пример . Используя метод минимальной стоимости, построить начальное опорное решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице:
|
|
4 0 |
6 0 |
8 0 |
6 0 |
|
60 |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
80 |
4 |
5 |
8 |
3 |
|
100 |
2 |
3 |
6 |
7 |
Решение . Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы удобнее было выбирать минимальные стоимости, вычеркивать строки и столбцы:
Среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость с 11 = 1 , отмечаем ее кружочком. Это стоимость перевозки груза от 1 -го поставщика 1 -му потребителю. В соответствующую клетку (1, 1) записываем максимально возможный объем перевозки х 11 = min {a, A,} = min {60, 40} =40 .
Таблица 6.6
|
|
40 |
60 |
80 |
60 |
|
60 |
40 |
|
|
20 |
|
80 |
|
|
40 |
40 |
|
100 |
|
60 |
40 |
|
Запасы 1 -го поставщика уменьшаем на 40 , т.е. a 1 ’= a 1 -b 1 = 60 - 40.= = 20 . Исключаем из рассмотрения 1 -го потребителя, так как его запросы удовлетворены. В матрице, С вычеркиваем 1 -й столбец.
В оставшейся части матрицы С минимальной является стоимость с 14 = 2 . Максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от 1 -го поставщика к 4 -му потребителю, равна x 14 =min{a 1 ’,b 4 }= min{20,60} = 20 . В соответствующую клетку таблицы записываем перевозку х 14 =20 - Запасы 1 -гo поставщика исчерпаны, исключаем его из рассмотрения. В матрице С вычёркиваем первую строку. Запросы 4 -го потребителя уменьшаем на 20 , т.е. b 4 " = b 4 - a 1 "=60-20= 40.
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость с 24 =с 32 =3 . Заполняем одну из двух клеток таблицы (2, 4) или (3, 2) . Пусть в клетку (2, 4) записываем х 24 = min{а 2 , b 4 } = min {80, 40} = 40 . Запросы 4 -го потребителя удовлетворены, исключаем его из рассмотрения» вычеркиваем четвертый столбец в матрице С. Уменьшаем запасы 2 -го поставщика а 2 ’ = а 2 - b 4 = 80 - 40 = 40 .
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость min{с ij } = с 32 = 3 . Записываем в клетку таблицы (3,2) перевозку х 32 =min {а 3 b 2 } = min {100, 60} = 60 . Исключаем из рассмотрения 2 -го потребителя, а из матрицы С второй столбец. Вычисляем а 3 ’= а3-b 2 = 100 - 60 = 40 .
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость min {с ij }= с 33 = 6 . Записываем в клетку таблицы (3,3) перевозку x 33 = min {а 3 ",b 3 } = min {40, 80} = 40 . Исключаем из рассмотрения 3 -го поставщика, а из матрицы С третью строку. Определяем b 3 " = b 3 - а 3 " = 80 - 40 = 40 . В матрице С остается единственный элемент с 23 = 8 . Записываем в клетку таблицы (2, 3) перевозку х 23 = 40 .
Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток таблицы равно N = k+ n- 1=3+4-1=6 . Методом вычеркивания проверяем линейную независимость векторов-условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице X :
Решение является «вычеркиваемым» и, следовательно, опорным.
Переход от одного опорного решения к другому
В транспортной задаче переход от одного опорного решения к другому осуществляется с помощью цикла. Для некоторой свободной клетки таблицы строится цикл, содержащий часть клеток, занятых опорным решением. По этому циклу перераспределяются объемы перевозок. Перевозка загружается в выбранную свободную клетку и освобождается одна из занятых клеток, получается новое опорное решение.□ Теорема (о существовании и единственности цикла). Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то для любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл, содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением.
Доказательство . Опорное решение занимает N = k + n- 1 клеток таблицы, которым соответствуют линейно независимые векторы-условия. Согласно доказанной выше теореме ни одна часть занятых клеток не образует цикл. Если же к занятым клеткам присоединить одну свободную, то соответствующие им k+ n векторов линейно зависимы, и по той же теореме существует цикл, содержащий эту клетку. Предположим, что таких циклов два (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…, (i k ,j 1), и (i 1 ,j 1), (i 2 ,j 1), (i 2 ,j 2),…, (i l ,j 1), -Тогда, объединив клетки обоих циклов без свободной клетки (i 1 ,j 1), получим последовательность клеток (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…, (i k ,j 1), (i 1 ,j 1), (i 2 ,j 1), (i 2 ,j 2),…, (i l ,j 1) которые образуют цикл. Это противоречит линейной независимости векторов-условий, образующих базис опорного решения. Следовательно, такой цикл единственный.
Означенный цикл.
Цикл называется означенным, если его угловые клетки пронумерованы по порядку и нечетным клеткам приписан знак «+», а четным - знак «-».
Сдвигом по циклу на величину θ называется увеличение объемов перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», на θ и уменьшение объемов перевозок во всех четных клетках, отмеченных знаком «-», на θ .
□ Теорема . Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то при сдвиге по любому циклу, содержащему одну свободную клетку, на величину получится опорное решение.
Доказательство . В таблице транспортной задачи, содержащей опорное решение, выберем свободную клетку и отметим ее знаком «+». По теореме 6.6 для этой клетки существует единственный цикл, который содержит часть клеток, занятых опорным решением. Пронумеруем клетки цикла, начиная с клетки, отмеченной знаком - «+». Найдем осуществим сдвиг по циклу на эту величину
В каждой строке и в каждом столбце таблицы, входящих в цикл, две и только две клетки, одна из которых отмечена знаком «+», а другая - знаком «-». Поэтому в одной клетке объем перевозки увеличивается на θ , а в другой уменьшается на θ , при этом сумма всех перевозок в строке (или столбце) таблицы остается неизменной. Следовательно, после сдвига по циклу по-прежнему и запасы всех поставщиков вывозятся полностью, и запросы всех потребителей удовлетворяются полностью. Так как сдвиг по циклу осуществляется на величину все объемы перевозок будут неотрицательными. Следовательно, новое решение является допустимым.
Если оставить свободной одну из клеток с нулевым объемом перевозки, соответствующих , то число занятых клеток будет равно N=k+n-1 . Одна клетка загружается (отмеченная знаком «+»), одна - освобождается. Так как цикл единственный, то удаление из него одной клетки разрывает его. Цикл из оставшихся занятых клеток образовать нельзя, соответствующие векторы-условия линейно независимы, а решение является опорным.
Задача №4. Увеличению числа транзакций:
Какие призывы к действию могут быть? Пример: «Звоните прямо сейчас», «Узнайте подробности на нашем сайте», «Узнайте больше, позвонив по телефону…».
P.S. Если вы просто прочитали эту статью, и не внедрили в своем предприятии ни одного из указанных способов увеличения , то вы потратили свое время зря.
Если вы собираетесь внедрить в своей организации 2-3 наиболее понравившихся вам способа повышения продаж, тогда вас ждут хорошие результаты.
Если вы решили использовать каждый из описанных здесь способов, тогда проблема складских запасов для вас перестанет существовать. И вы забудете о том, что когда-то этот вопрос для вас был настолько актуален.
P.P.S. Что такое прибыльный завод? Это предприятие, которое осознает, какое место на рынке занимает его продукция, и грамотно ее сбывает! Работа со сбытом - та же лидогенерация. Анализ воронки продаж, онлайн-маркетинг. Все то же самое!
Для того, чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть с правильным балансом.
Теорема 38.2 Свойство системы ограничений транспортной задачи
Ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен N=m+n-1 (m — поставщики, n-потребители)
Опорное решение транспортной задачи
Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.
Ввиду того, что ранг системы векторов-условий транспортной задачи равен m+n — 1, опорное решение не может иметь отличных от нуля координат более m+n-1. Число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения равняется m+n-1, а для вырожденного опорного решения меньше m+n-1
ЦиклЦиклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи (i 1 , j 1),(i 1 , j 2),(i 2 , j 2),...,(i k , j 1), в которой две и только две соседние клетки распложены в одной строке или столбце, причем первая и последняя клетки также находятся в одной строке или столбце.
Цикл изображают в виде таблицы транспортной задачи в виде замкнутой ломаной линии. В цикле любая клетка является угловой, в которой происходит поворот звена ломаной линии на 90 градусов. Простейшие циклы изображены на рисунке 38.1
Теорема 38.3Допустимое решение транспортной задачи X=(x ij) является опорным тогда и только тогда, когда из занятых клеток таблицы нельзя образовать ни одного цикла.
Метод вычеркивания
Метод вычеркивания позволяет проверить, является ли данное решение транспортной задачи опорным.
Пусть допустимое решение транспортной задачи, которое имеет m+n-1 отличных от нуля координат, записано в таблицу. Чтобы данное решение было опорным, векторы-условий, соответствующие положительным координатам, а также базисным нулям, должны быть линейно независимыми. Для этого занятые решением клетки таблицы должны быть расположены так, чтобы нельзя было из них образовать цикл.
Строка или столбец таблицы с одной занятой клеткой не может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каждой строке или столбце. Следовательно, чтобы вычеркнуть сначало либо все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, либо все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к столбцам (строкам) и продолжать вычеркивание.
Если в результате вычеркивания все строки истолбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов-условий является линейно независимой, а решение является опорным.
Если же после вычеркивания останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов-условий является линейно зависимой, а решение не является опорным.
Примеры "вычеркнутого" (опорного) и "не вычеркнутого" (не опорного решений):
Логика вычеркивания :
- Вычеркнуть все столбцы, в которых всего одна занятая клетка (5 0 0), (0 9 0)
- Вычеркнуть все строки, в которых всего одна занятая клетка (0 15), (2 0)
- Повторить цикл (7) (1)
Методы построения начального опорного решения
Метод северо-западного угла
Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла.
В данном методе запасы очередного по номеру поставщика используются для обеспечения запросов очередных по номеру потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.
Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла, поэтому и называется метод северо-западного угла.
Метод состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или один потребитель.
Пример 38.1Составить опорное решение, используя метод северо-западного угла.
1. Распределяем запасы 1-го поставщика.
Если запасы первого поставщика больше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запроса первого потребителя и переходим ко второму потребителю. Если же запасы первого поставщика меньше запросов первого потребителя, то записываем в клетку (1,1) сумму запасов первого поставщика, исключаем из рассмотрения первого поставщика и переходим ко второму поставщику.
Пример
: так как его запасы a 1 =100 меньше запросов первого потребителя b 1 =100, то в клетку (1,1) записываем перевозку x 11 =100 и исключаем из рассмотрения поставщика.
Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы 1-го потребителя b 1 = 150-100=50.
2. Распределяем запасы 2-го поставщика.
Так как его запасы a 2 = 250 больше оставшихся неудовлетворенными запросов 1-го потребителя b 1 =50, то в клетку (2,1) записываем перевозку x 21 =50 и исключаем из рассмотрения 1-го потребителя.
Определяем оставшиеся запасы 2-го поставщика a 2 = a 2 — b 1 = 250-50=200. Так как оставшиеся запасы 2-го поставщика равны запросам 2-го потребителя, то в клетку (2,2) записываем x 22 =200 и исключаем по своему усмотрению либо 2-го поставщика, либо 2-го потребителя. В нашем примере мы исключили 2-го поставщика.
Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы второго потребителя b 2 =b 2 -a 2 =200-200=0.
| 150 | 200 | 100 | 100 | ||
| 100 | 100 | |
|||
| 250 | 50 |
200 |
250-50=200 200-200=0 | ||
| 200 | |||||
| 150-100-50=0 |
3. Распределяем запасы 3-го поставщика.
Важно!
В предыдущем шаге у нас был выбор исключать поставщика или потребителя. Так как мы исключили поставщика, то запросы 2-го потребителя все же остались (хоть и равны нулю).
Мы должны записать оставшиеся запросы равные нулю в клетку (3,2)
Это связано с тем, что если в очередную клетку таблицы (i,j) требуется поставить перевозку, а поставщик с номером i или потребитель с номером j имеет нулевые запасы или запросы, то ставится в клетку перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого исключается из рассмотрения либо соответствующий поставщик, либо потребитель.
Таким образом, в таблицу заносятся только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.
Во избежании ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно m+n-1 (базисный ноль при этом тоже считается занятой клеткой), и векторы-условий, соответствующие этим клеткам, линейно независимые.
Так как в предыдущем шаге мы исключили из рассмотрения второго поставщика, то в клетку (3,2) записываем x 32 =0 и исключаем второго потребителя.
Запасы 3-го поставщика не изменились. В клекту (3,3) записываем x 33 =100 и исключаем третьего потребителя. В клетку (3,4) записываем x 34 =100. Ввиду того, что наша задача с правильным балансом, запасы всех поставащиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью и одновременно.
| Опорное решение | ||||
| 150 | 200 | 100 | 100 | |
| 100 | 100 | |||
| 250 | 50 | 200 | ||
| 200 | 0 | 100 | 100 | |
4. Проверяем правильность построения опорного решения.
Число занятых клеток должно быть равно N=m(поставщики)+m(потребители) — 1=3+4 — 1=6.
Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является "вычеркиваемым" (звездочкой отмечен базисный нуль).
Следовательно, векторы-условий, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение действительно является опорным.
Метод минимальной стоимости
Метод минимальной стоимости прост и позволяет построить опорное решение, достаточно близкое к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи C=(c ij).
Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости:
и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую , заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы груза использованы полностью. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик еще не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда от данного поставщика требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично с потребителем.
Используя метод минимальной стоимости построить начальное опорное решение транспортной задачи.
1. Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы было удобнее выбирать минимальные стоимости.
2. Среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость C 11 =1, отмечаем ее кружочком. Данная стоимость имеет место при перевозке груза от 1-го поставщика 1-му потребителю. В соответствующую клетку записываем максимально возможный объем перевозки:
x 11 = min {a 1 ; b 1 } = min {60; 40} =40
т.е. минимум между запасами 1-го поставщика и запросами 1-го потребителя.
2.1. Запасы 1-го поставщика уменьшаем на 40.
2.2. Исключаем из рассмотрения 1-го потребителя, так как его запросы полностью удовлетворены. В матрице C вычеркиваем 1-ый столбец.
3. В оставшейся части матрицы C минимальной стоимостью является стоимость C 14 =2. Максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от 1-го поставщика 4-му потребителю равна x 14 = min {a 1 "; b 4 } = min {20; 60} = 20
, где a 1 со штрихом это оставшиеся запасы первого поставщика.
3.1. Запасы 1-го поставщика исчерпаны, поэтому исключаем его из рассмотрения.
3.2. Запросы 4-го потребителя уменьшаем на 20.
4. В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость C 24 =C 32 =3. Заполняем одну из двух клеток таблицы (2,4) или (3,2). Пусть в клетку запишем x 24 = min {a 2 ; b 4 } = min {80; 40} =40
.
4.1. Запросы 4-го потребителя удовлетворены. Исключаем его из рассмотрения вычеркивая 4-й столбец в матрице C.
4.2. Уменьшаем запасы 2-го поставщика 80-40=40.
5. В оставшейся части матрицы C минимальная стоимость C 32 =3. Запишем в клетку (3,2) таблицы перевозку x 32 = min {a 3 ; b 2 } = min {100; 60} =60
.
5.1. Исключим из рассмотрения 2-го потребителя. Из матрицы C исключаем 2-ой столбец.
5.2. Уменьшим запасы 3-го поставщика 100-60=40
6. В оставшейся части матрицы C минимальная стоимость C 33 =6. Запишем в клетку (3,3) таблицы перевозку x 33 = min {a 3 "; b 3 } = min {40; 80} =40
6.1. Исключим из рассмотрения 3-го поставщика, а из матрицы C 3-ю строку.
6.2. Определяем оставшиеся запросы 3-го потребителя 80-40=40.
7. В матрице C остался единственный элемент C 23 =8. Записываем в клетку таблицы (2,3) перевозку X 23 =40.
8. Проверяем правильность построения опорного решения.
Число занятых клеток таблицы равно N=m+n — 1=3+4 -1.
Методом вычеркивания проверяем линейную независимость векторов-условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице X:
Вывод: Решение методом минимальной стоимости (таблица 38.3) является "вычеркиваемым" и, следовательно опорным.
Здрвствйт Сргй!
Пшт эт чттль Вшй рссылк, ктрю н нхдт всьм плзнй… Д вт прктк-т нт. Я н смм дл ж двн знтрсвн взмжнстю свть скрчтн. Н для мня эт пчм-т всгд кзлсь мчтй. мня был н эт тм рзгвры с бртм. н скзл слдщ: сл чтть чнь быстр, т н спвшь всю нфрмцю плнцнн брбтть. Скрсть чтня прктчск прям прпрцнльн скрст мышлня. влчть скрсть мышлн — скрсть чтня тж влчться. вт бртн, к сжлнью, н дйствт. Спсбы сскстнг вышн скрст чтня — эт фкця.
А вот оригинал
Здравствуйте Сергей!
Пишет это читатель Вашей рассылки, которую он находит весьма полезной… Да вот практики-то нету. Я на самом деле уже давно заинтересован возможностью освоить скорочтение. Но для меня это почему-то всегда казалось мечтой. У меня был на эту тему разговоры с братом. Он сказал следующее: если читать очень быстро, то не успеваешь всю информацию полноценно обработать. Скорость чтения практически прямо пропорциональна скорости мышления. Увеличить скорость мышление - и скорость чтения тоже увеличиться. А вот обратное, к сожалению, не действует. Способы искусственного увеличения скорости чтения - это фикция.
Даже после того, как текст был сокращен на 50% за счет уничтожения некоторых букв, его все равно можно прочитать.
Не каждое слово (каждая буква) несет информационную нагрузку. Некоторые слова можно воспринимать как иероглифы.
Чтобы повысить скорость чтения достаточно, начать читать через слово. Вы, возможно, возразите, что в школе вас учили читать т щ а т е л ь н о в д у м ы в а я с ь в к а ж д о е с л о в о. Может быть, это правило чтения еще актуально и не изжило себя как изжили рекомендации о том, что при чтении нужно обязательно водить пальцем по строчкам или читать текст вслух (из учебников чтения прошлого века).
Метод неопределенных коэффициентов
Найдем разложение на простейшие дроби для .
Общий вид разложения в этом случае
.
Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем
x 2 -1=A(x 2 +1) 2 +(Bx+C)x+(Dx+E)(x 2 +1)x
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
поэтому искомое разложение имеет вид:
.
Пусть знаменатель Q(x) правильной рациональной дроби имеет вещественное число а корнем кратности a. Тогда среди простейших дробей, на сумму которых раскладывается дробь , есть дробь . Коэффициент 
, где 
.
Правило:
для вычисления коэффициента А при простейшей дроби , соответствующей вещественному корню а многочлена Q(x) кратности a, следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку 
и в оставшемся выражении положить х=а. Отметим, что этот прием применим лишь для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших дробей, соответствующих вещественным корням Q(x).
Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель Q(x) имеет лишь однократные вещественные корни, т.е. когда
Q(x)=(x-a 1)(x-a 2)×... ×(x-a n). Тогда справедливо представление
,
все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычеркивания. Для вычисления коэффициента А к следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку (х-а к) и в оставшемся выражении положить х=а к.
Найти разложение дроби 
